计算二重积分∫∫(y^2-z)dydz+(z^2-x)dzdx+(x^2-y)dxdy 其中E 为锥面z=根号下(x^2+y^2) (0
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/23 19:14:09
计算二重积分∫∫(y^2-z)dydz+(z^2-x)dzdx+(x^2-y)dxdy 其中E 为锥面z=根号下(x^2+y^2) (0
计算二重积分∫∫(y^2-z)dydz+(z^2-x)dzdx+(x^2-y)dxdy 其中E 为锥面z=根号下(x^2+y^2) (0
计算二重积分∫∫(y^2-z)dydz+(z^2-x)dzdx+(x^2-y)dxdy 其中E 为锥面z=根号下(x^2+y^2) (0
补一个面(构成封闭曲面),用高斯公式:
补面∑1:z=h 取上侧(构成封闭圆锥面的外侧)
x²+y²≤h²
原积分= ∫∫ (y^2-z)dydz+(z^2-x)dzdx+(x^2-y)dxdy-∫∫ (y^2-z)dydz+(z^2-x)dzdx+(x^2-y)dxdy
∑+∑1 ∑1
由高斯公式,令P=y^2-z,Q=z^2-x,R=x^2-y,则
原积分=∫∫∫ (əP/əx+əQ/əy+əR/əz) dxdydz-∫∫ (y^2-z)dydz+(z^2-x)dzdx+(x^2-y)dxdy
Ω ∑1
=∫∫∫ (0+0+0) dxdydz-∫∫ (x²-y)dxdy (∑1在dydz,dzdx 上的投影面积均为0)
Ω Dxy
其中,Dxy:{(x,y)|x²+y²≤h²}
原积分=0-∫∫ (x²-y)dxdy
Dxy
∵Dxy关于坐标轴对称
∴∫∫ ydxdy=0(由积分的对称性)
∴原积分=-∫∫x²dxdy
Dxy
=-1/2·∫∫ (x²+y²)dxdy
Dxy
=-1/2·∫(0,2π) dθ ∫(0,h) r²·rdr
=-1/2·∫(0,2π)[r^4/4|(0,h)] dθ
=-1/8·(2π)·h^4
=-πh^4/4
希望我的解答对你有所帮助
别忘了及时采纳哦!
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