在正方形ABCD中,点E、F分别为BC和AB的中点连接CF、DE于M 求证：AM=AD
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/12 06:30:15
在正方形ABCD中,点E、F分别为BC和AB的中点连接CF、DE于M 求证：AM=AD
在正方形ABCD中,点E、F分别为BC和AB的中点连接CF、DE于M 求证：AM=AD
在正方形ABCD中,点E、F分别为BC和AB的中点连接CF、DE于M 求证：AM=AD
设正方形边长为a,作MJ⊥BC,交BC于J,作MI⊥AB,交AB于I,则四边形MJBI为矩形.
BF=CE,CD=AB,所以RT△DCE≌RT△CBF,∠BCF=∠CDE,∠DEC=∠BFC,
又∠DEC+∠CDE=90°,所以∠BCF+∠DEC=90°,所以CM⊥DE,
DE²=CE²+CD²=(a/2)²+a²,DE=√5a/2,
CE²=ME*DE,ME=CE²/DE=(a/2）²/（√5a/2）=√5a/10,
ME²=JE*CE,JE=ME²/CE=(√5a/10）²/（a/2）=a/10,
MJ=√(ME²-JE²)=√[(√5a/10）²-（a/10）²]=a/5,
又BJ=IM,MJ=BI.
所以AI=AB-BI=AB-MJ=a-a/5=4a/5,
IM=BJ=BE+JE=a/2+a/10=3a/5,
AM=√(AI²+IM²)√[(4a/5）²+（3a/5）²]=a,
所以AM=AD.
证明：
延长CF，交DA的延长线于点P
∵F是AB的中点，E是BC的中点
∴BF=CE
∵BC=CD，∠B=∠DCE=90°
∴△BCF≌△CDE
∴∠BCF=∠CDE
∴∠CMD=90°
∵∠P=∠BCF
∴△APF≌△CBF
∴AP=BC=AD
∴AM=AD（直角三角形斜边中线等于斜边一半）
比LS的简单
设AD=1则AB=CD=BC=2AF=1 AF=1/2，由相似知CM=√5/10则MF=√5/2-√5/10
=2√5/5 COS角AFM=2/√5 由余弦定理得AM=1
所以AD=AM！！
易证三角形DFC全等于三角形CEB
DF垂直于CE
延长CE,DA交于一点G
三角形GAE相似于三角形GDC
因为2AE=CD
所以2AG=DG
即A是GD中点
在RT三角形GDM中
斜边中线是斜边一半长
所以AM=AD
设AD=1则AB=CD=BC=2AF=1 AF=1/2，由相似知CM=√5/10则MF=√5/2-√5/10
=2√5/5 COS角AFM=2/√5 由余弦定理得AM=1
所以AD=AM！！