求幂级数∑ x^n/n!（n=0到无穷大） 的和函数答案是e^x

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 14:23:30
求幂级数∑x^n/n!（n=0到无穷大）的和函数答案是e^x求幂级数∑x^n/n!（n=0到无穷大）的和函数答案是e^x求幂级数∑x^n/n!（n=0到无穷大）的和函数答案是e^x设s(x)=∑x^n

求幂级数∑ x^n/n!（n=0到无穷大） 的和函数答案是e^x
求幂级数∑ x^n/n!（n=0到无穷大） 的和函数
答案是e^x

求幂级数∑ x^n/n!（n=0到无穷大） 的和函数答案是e^x
设s(x)=∑ x^n/n!（n=0到无穷大）
则,a(n+1)/a(n)=n!/(n+1)!=1/(n+1)--->0
R=+∞ 收敛域：（-∞,+∞）
s'(x)=∑ x^(n-1)/(n-1)!（n=1到无穷大）=s(x)
d(S)/S=dx s(0)=1
lnS(x)-lnS(0)=x
∴s(x)=e^x

令an=1/n!.s（x）=t题目上的式子，可以知道收敛区域为负无穷到正无穷！对s（x）求导得s（x）=s（x）＇.再利用微分可求s（x）=ce^nx.再有s（0）=1知c=1。结果就出来了:-)！！

记s(x)=∑ x^n/n！（n=0到无穷大）=1 ∑ x^n/n！（n=1到无穷大）
按照逐项求导s'(x)=∑ x^(n-1)/(n-1)！（n=1到无穷大）= ∑ x^n/n！（n=0到无穷大）=s(x)
于是解微分方程s(x)=s'(x)
且符合条件s(0)=0
解得s(x)=e^x

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