求高手做一道不等式题已知a+b=2(1)求证：（a的平方+b的平方）大于等于2(2)若对于任意x属于R,不等式|x+1|-|x+c|小于等于|a|+|b|恒成立,求c的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/05 18:20:30
求高手做一道不等式题已知a+b=2(1)求证：（a的平方+b的平方）大于等于2(2)若对于任意x属于R,不等式|x+1|-|x+c|小于等于|a|+|b|恒成立,求c的取值范围
求高手做一道不等式题
已知a+b=2
(1)求证：（a的平方+b的平方）大于等于2
(2)若对于任意x属于R,不等式|x+1|-|x+c|小于等于|a|+|b|恒成立,求c的取值范围
求高手做一道不等式题已知a+b=2(1)求证：（a的平方+b的平方）大于等于2(2)若对于任意x属于R,不等式|x+1|-|x+c|小于等于|a|+|b|恒成立,求c的取值范围
(1)证：∵a+b=2,∴4=(a+b)²=a²+b²+2ab≤2(a²+b²),
故a²+b²≥2(当且仅当a=b=1时取等号).
(2)若对于任意x∈R,不等式|x+1|-|x+c|≤|a|+|b|恒成立,
则(|x+1|-|x+c|)max≤|a|+|b|.
∵|x+1|-|x+c|≤|(x+1)-(x+c)|=|1-c|,∴|1-c|≤|a|+|b|,
又|a|+|b|≥|a+b|=2,∴|1-c|≤2,即 -2≤1-c≤2,
故所求c的取值范围是[-1,3].
第一问易.用平方平均值大于等于算术平均值即可求.
第二问,左式小于等于|a|+|b|,即左式要小于等于|a|+|b|的最小值,而|a|+|b|>=a+b=2,即|a|+|b|的最小值为2,原不等式简化为|x+1|-|x+c|小于等于2,意思是说:到-1的距离减去到-c的距离恒小于2,即-1到-c的距离小于2,即-2<=c-1<=2,即-1<=c<=3...
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第一问易.用平方平均值大于等于算术平均值即可求.
第二问,左式小于等于|a|+|b|,即左式要小于等于|a|+|b|的最小值,而|a|+|b|>=a+b=2,即|a|+|b|的最小值为2,原不等式简化为|x+1|-|x+c|小于等于2,意思是说:到-1的距离减去到-c的距离恒小于2,即-1到-c的距离小于2,即-2<=c-1<=2,即-1<=c<=3
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