2009年全国初中数学联赛决赛试题已知192|a^3+191,且a〈2009,求所有满足条件的a之和.

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2009年全国初中数学联赛决赛试题已知192|a^3+191,且a〈2009,求所有满足条件的a之和.
2009年全国初中数学联赛决赛试题
已知192|a^3+191,且a〈2009,求所有满足条件的a之和.

2009年全国初中数学联赛决赛试题已知192|a^3+191,且a〈2009,求所有满足条件的a之和.
192|(a^3+191)-192=a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)
因为a^2+a+1=a(a+1)+1必定为奇数,而192=3*2^6
所以必定有2^6|(a-1),即a=64k+1
而3被a-1或者a^2+a+1整除
将a=64k+1代入
得到a-1≡k(mod3)或者a^2+a+1≡k^2(mod3)
不管哪种情况都能推出k被3整除,即k=3n
所以a=192n+1
这边假定a是非负的,那么有条件a<2009
得到n=0,1,..,10
所以所有满足条件的a之和=10571

a=192k+1(k=0,1,2……10)
这是a的形式
这题答案=10571

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