如图,分别以△ABC的三边AB、AC、BC、为直径作半圆,得两个月牙形面积S1、S2,若S△ABC=S1+S2求证:△ABC是直角三角形
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/10/03 04:26:24
如图,分别以△ABC的三边AB、AC、BC、为直径作半圆,得两个月牙形面积S1、S2,若S△ABC=S1+S2求证:△ABC是直角三角形
如图,分别以△ABC的三边AB、AC、BC、为直径作半圆,得两个月牙形面积S1、S2,若S△ABC=S1+S2
求证:△ABC是直角三角形
如图,分别以△ABC的三边AB、AC、BC、为直径作半圆,得两个月牙形面积S1、S2,若S△ABC=S1+S2求证:△ABC是直角三角形
假设三边长为a,b,c(s1对应的b,s2对应的为a)
则以b为直径的半圆面积去掉S1后的面积为=1/8*πb^2-S1
则以a为直径的半圆面积去掉S2后的面积为=1/8*πc^2-S2
则以c为直径的半圆面积为=1/8*πc^2
而三角形S△ABC=S1+S2
则1/8*πb^2-S1+1/8*πc^2-S2+(S1+S2)=1/8*πc^2
简化后b^2+a^2=c^2
三角形为直角三角形
解:分别以AB和BC为直径的两个半圆面积之和为π(AC/2)²/2+π(BC/2)²/2=π*(AC²+BC²)/8;
以AB为直径的半圆面积为π(AB/2)²/2=π*AB²/8.
∵AC²+BC²=AB².
∴分别以AC和BC为直径的两半圆面积之和 = 以AB为直径的半圆面积.<...
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解:分别以AB和BC为直径的两个半圆面积之和为π(AC/2)²/2+π(BC/2)²/2=π*(AC²+BC²)/8;
以AB为直径的半圆面积为π(AB/2)²/2=π*AB²/8.
∵AC²+BC²=AB².
∴分别以AC和BC为直径的两半圆面积之和 = 以AB为直径的半圆面积.
上式两边同时减去空白部面的面积,得:s1+s2=s3.
收起
S△ABC=1/8πAB^2-(1/8πAC^2-S1)-(1/8πBC^2-S2)=1/8πAB^2-1/8πAC^2-1/8πBC^2+S1+S2
∵S△ABC=S1+S2
∴1/8πAB^2-1/8πAC^2-1/8πBC^2=0
∴AB^2-AC^2-BC^2=0
∴AB^2=AC^2+BC^2
∴△ABC是直角三角形