设抛物线方程为y^2=2px(p>0)过焦点F的弦AB的倾斜角为α,求证：焦点弦长为AB=2p/sinα^2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 19:59:55
设抛物线方程为y^2=2px(p>0)过焦点F的弦AB的倾斜角为α,求证：焦点弦长为AB=2p/sinα^2
设抛物线方程为y^2=2px(p>0)过焦点F的弦AB的倾斜角为α,求证：焦点弦长为AB=2p/sinα^2
设抛物线方程为y^2=2px(p>0)过焦点F的弦AB的倾斜角为α,求证：焦点弦长为AB=2p/sinα^2
由抛物线方程y^2＝2px,得抛物线的焦点坐标为（p/2,0）,又AB的倾角为α,
∴AB的方程是：y＝（x－p/2）tanα.
∴可设A、B的坐标分别是（m,（m－p/2）tanα）、（n,（n－p/2）tanα）.
联立：y＝（x－p/2）tanα、 y^2＝2px,消去y,得：
［（x－p/2）tanα］^2＝2px, ∴x^2（tanα）^2－px（tanα）^2＋（ptanα）^2/4＝2px,
∴4x^2（tanα）^2－［4p（tanα）^2＋8p］x＋p^2（tanα）^2＝0.
显然,m、n是方程4x^2（tanα）^2－［4p（tanα）^2＋8p］x＋p^2（tanα）^2＝0的两根,
∴由韦达定理,有：
m＋n＝［p（tanα）^2＋2p］/（tanα）^2＝p＋2p/（tanα）^2、 mn＝p^2/4.
而｜AB｜^2＝（m－n）^2＋［（m－p/2）tanα－（n－p/2）tanα］^2
＝（m－n）^2＋（m－n）^2（tanα）^2
＝（m－n）^2［1＋（tanα）^2］
＝［（m＋n）^2－4mn］/（cosα）^2
＝［p^2＋4p^2/（tanα）^2＋4p^2/（tanα）^4－p^2］/（cosα）^2
＝4p^2［1/（tanα）^2＋1/（tanα）^4］/（cosα）^2
＝4p^2［（tanα）^2＋1］/［（tanα）^4（cosα）^2］
＝4p^2［1/（cosα）^2］/［（sinα）^4/（cosα）^2］
＝4p^2/（sinα）^4.
∴｜AB｜＝4p/（sinα）^2.