证明：对于任意两个向量a,b,都有||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 04:28:06
证明：对于任意两个向量a,b,都有||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|
证明：对于任意两个向量a,b,都有||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|
证明：对于任意两个向量a,b,都有||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|
设θ=
先证左边：||a|-|b||≤|a-b|
由|a-b|²-||a|-|b||²=(a²-2|a||b|cosθ+b²)-(a²-2|a||b|+b²)=2|a||b|(1-cosθ)≥0
得|a-b|≥||a|-|b||
再证右边：|a-b|≤|a|+|b|
由|a-b|²-||a|+|b||²=(a²-2|a||b|cosθ+b²)-(a²+2|a||b|+b²)= -2|a||b|(1+cosθ)≤0
得|a-b|≤|a|+|b|
综述可知：||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|
（注：你也可以用反证法一步一步推,推出的结论成立就行.）
画个三角形。其中两边分别是向量a、b，剩下的第三边就是a-b了
向量加上那个绝对值符号就是求模，也就是向量长度的意思。因此这个证明就相当于
a、b两边的长度差<=第三边的长<=a、b两边的长度和。
而这个不等式就是三角形的基本定理。
本来在三角形中等号是不会成立的。但是这里a、b是任意的，所以可以为0，b为0的时候等号就成立，此时不是三角形，跟前面的证明不矛盾。...
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画个三角形。其中两边分别是向量a、b，剩下的第三边就是a-b了
向量加上那个绝对值符号就是求模，也就是向量长度的意思。因此这个证明就相当于
a、b两边的长度差<=第三边的长<=a、b两边的长度和。
而这个不等式就是三角形的基本定理。
本来在三角形中等号是不会成立的。但是这里a、b是任意的，所以可以为0，b为0的时候等号就成立，此时不是三角形，跟前面的证明不矛盾。
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