已知向量OB＝（2,0）,向量OC＝(2,2) ,向量CA＝(√2sinα,√2cosα),求向量OA与向量OB夹角的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 12:55:11
已知向量OB＝（2,0）,向量OC＝(2,2) ,向量CA＝(√2sinα,√2cosα),求向量OA与向量OB夹角的取值范围
已知向量OB＝（2,0）,向量OC＝(2,2) ,向量CA＝(√2sinα,√2cosα),求向量OA与向量OB夹角的取值范围
已知向量OB＝（2,0）,向量OC＝(2,2) ,向量CA＝(√2sinα,√2cosα),求向量OA与向量OB夹角的取值范围
向量CA=OA－OC=(√2sina,√2cosa)
则：OA=(2＋√2sina,2＋√2cosa)
点A在以(2,2)为圆心、以√2为半径的圆上运动,点B(2,0),结合图形,得：
OA与OB的夹角的范围是：
[15°,75°]
设A点坐标为(x,y)，则向量OA=(x,y)
向量CA=向量OA-OC=(x-2,y-2)，而|CA|=sqrt(2)
所以：(x-2)^2+(y-2)^2=2，可以看出A点的轨迹是以点(2,2)为圆心，以sqrt(2)为半径的圆
当直线OA与圆相切，即向量OA与向量CA垂直时，对应的2个点分别是
向量OA与向量OB夹角的最大处和最小处
由：向量OA do...
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设A点坐标为(x,y)，则向量OA=(x,y)
向量CA=向量OA-OC=(x-2,y-2)，而|CA|=sqrt(2)
所以：(x-2)^2+(y-2)^2=2，可以看出A点的轨迹是以点(2,2)为圆心，以sqrt(2)为半径的圆
当直线OA与圆相切，即向量OA与向量CA垂直时，对应的2个点分别是
向量OA与向量OB夹角的最大处和最小处
由：向量OA dot (OA-OC)=0，即：|OA|^2-OA dot OC=0
即：x^2+y^2=(x,y) dot (2,2)=2x+2y，代入圆的方程得：x+y=3
所以：2x^2-6x+3=0，解得：x=(3+sqrt(3))/2或x=(3-sqrt(3))/2
即当A点作标为((3+sqrt(3))/2,(3-sqrt(3))/2)时，向量OA与向量OB夹角最小
此时：cost1=(OA dot OB)/|OA|*|OB|=(3+sqrt(3))/(2(sqrt(6))=(sqrt(6)+sqrt(2))/4
则：t1=arccos((sqrt(6)+sqrt(2))/4)
当A点作标为((3-sqrt(3))/2,(3+sqrt(3))/2)时，向量OA与向量OB夹角最大
此时：cost2=(OA dot OB)/|OA|*|OB|=(3-sqrt(3))/(2(sqrt(6))=(sqrt(6)-sqrt(2))/4
则：t2=arccos((sqrt(6)-sqrt(2))/4)
所以：向量OA与向量OB夹角的取值范围是[arccos((sqrt(6)+sqrt(2))/4),arccos((sqrt(6)-sqrt(2))/4)]
收起
设OA（x，y），OA与OB夹角为z
则CA=OA-OC=(X-2,Y-2)=(根号2sina，根号2cosa）
即OA(2+根号2sina，2+根号2cosa）
所以cosz=OAXOB/OA的模XOB的模=2（2+根号2sina）/【（2+根号2sina）平方+（2+根号2cosa）平方】开根号x2=