等腰三角形的性质和判定已知三角形ABC,点D、E分别在线段AB、AC上,AB=AC,AD=AE,BE与CD相交于点O.求证：AO⊥BC.

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/25 22:24:06

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等腰三角形的性质和判定已知三角形ABC,点D、E分别在线段AB、AC上,AB=AC,AD=AE,BE与CD相交于点O.求证：AO⊥BC.
等腰三角形的性质和判定
已知三角形ABC,点D、E分别在线段AB、AC上,AB=AC,AD=AE,BE与CD相交于点O.求证：AO⊥BC.

等腰三角形的性质和判定已知三角形ABC,点D、E分别在线段AB、AC上,AB=AC,AD=AE,BE与CD相交于点O.求证：AO⊥BC.
证明：
∵AB=AC,AD=AE,∠BAE=∠CAD
∴△BAE≌△CAD
∴∠ABE=∠ACD
∵AB-AD=AC-AE
即DB=EC
∠DOB=∠EOC
∴△DOB≌△EOC
∴OD=OE
∴点O在∠DOE的平分线上
又∵点A在∠BAC的平分线上
∴AO平分∠BAC
∴AO⊥BC（根据等腰三角形的“三线合一”）

证明：
延长A0交BC于F点
因为AB=AC,AD=AE,∠DAC=∠BAE
所以△ACD≌△BAE
则∠ABE=∠ACD
又因为AB=AC
所以∠ABC=∠ACB
则∠OBC=∠OCB
所以OB=OC
则△AB0△ACO
则∠OAC=∠OAB
则∠FAC+∠ACB=∠FAB+∠ABC
则∠AFB=∠AFC
所以AF⊥BC
则AO⊥BC.

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