已知SA垂直于平面ABC,AB垂直于BC,SA=AB,SB=BC,E为SC中点,DE垂直于SC交AC于D,求二面角E—-BD—-C的大小
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/09 06:03:43
已知SA垂直于平面ABC,AB垂直于BC,SA=AB,SB=BC,E为SC中点,DE垂直于SC交AC于D,求二面角E—-BD—-C的大小
已知SA垂直于平面ABC,AB垂直于BC,SA=AB,SB=BC,E为SC中点,DE垂直于SC交AC于D,求二面角E—-BD—-C的大小
已知SA垂直于平面ABC,AB垂直于BC,SA=AB,SB=BC,E为SC中点,DE垂直于SC交AC于D,求二面角E—-BD—-C的大小
令AB＝a.
∵SA⊥平面ABC,∴SA⊥AB,又SA＝AB＝a,∴SB＝√2a,∴BC＝SB＝√2a.
∵SA⊥平面ABC,∴BC⊥SA,又BC⊥AB,SA∩AB＝A,∴BC⊥平面SAB,∴SB⊥BC.
由SB＝BC＝√2a,SB⊥BC,得：SC＝2a、 且BE＝SC/2＝a.
∵SE＝CE,∵CE＝a.
∵AB⊥BC,∴AC＝√（AB^2＋BC^2）＝√（a^2＋2a^2）＝√3a.
∵SA⊥平面ABC,∴SA⊥AC,又DE⊥CE,显然有∠SCA＝∠DCE,∴△SAC∽△DEC,
∴DE/SA＝CD/SC＝CE/AC＝a/（√3a）＝√3/3,
∴DE＝（√3/3）SA＝√3a/3, CD＝（√3/3）SC＝2√3a/3.
∴AD＝AC－CD＝√3a－2√3a/3＝√3a/3.
由余弦定理,有：
cos∠BAC＝（AD^2＋AB^2－BD^2）/（2AD×AB）,又cos∠BAC＝AB/AC＝a/（√3a）＝√3/3.
∴（AD^2＋AB^2－BD^2）/（2AD×AB）＝√3/3,
（a^2/3＋a^2－BD^2）/［2×（√3a/3）a］＝√3/3, ∴a^2/3＋a^2－BD^2＝2a^2/3,
∴BD^2＝2a^2/3.
∵AD^2＋BD^2＝（√3a/3）^2＋2a^2/3＝a^2,而AB＝a,∴AD^2＋BD^2＝AB^2,∴AD⊥BD.
∵DE^2＋BD^2＝（√3a/3）^2＋2a^2/3＝a^2,而BE＝a,∴DE^2＋BD^2＝BE^2,∴DE⊥BD.
由AD⊥BD、DE⊥BD,得：∠CDE就是二面角E－BD－C的平面角.
∴cos∠CDE＝cos∠ASC＝SA/SC＝a/（2a）＝1/2, ∴∠CDE＝60°.
即：二面角E－BD－C的大小为60°.