设数列{an},a1=2,a(n+1)=an+In·(1+1/n),求an
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 02:14:32
设数列{an},a1=2,a(n+1)=an+In·(1+1/n),求an
设数列{an},a1=2,a(n+1)=an+In·(1+1/n),求an
设数列{an},a1=2,a(n+1)=an+In·(1+1/n),求an
由
a(n+1)=an+In(1+1/n)
得:
an-a(n-1)=ln[1+1/(n-1)]
a(n-1)-a(n-2)=ln[1+1/(n-2)]
……
a2-a1=ln(1+1/1)
把上面一串式子加起来,有:
an-a1=ln[1+1/(n-1)]+ln[1+1/(n-2)]+……ln(1+1/1)
看这个等式的右边
关于对数的乘法运算有这个公式:ln(a)+ln(b)=ln(ab)
故ln[1+1/(n-1)]+ln[1+1/(n-2)]+……ln(1+1/1)
=ln{[1+1/(n-1)][1+1/(n-2)]……(1+1/1)}
而
1+1/(n-1)=n/(n-1)
1+1/(n-2)=(n-1)/(n-2)
1+1/(n-3)=(n-2)/(n-3)
……
1+1/1=2/1
看出来了吗?上面一大串式子相乘,最后的结果就是n
故ln{[1+1/(n-1)][1+1/(n-2)]……(1+1/1)}
=ln(n)
因此an-a1=ln(n)
故an=2+ln(n)
不给几分吗
a(n+1)-an=ln[(n+1)/n]=ln(n+1)-lnn 然后用累加法
a(n+1)-an=ln(n+1)-lnn
an-a(n-1)=lnn-ln(n-1)
a(n-1)-a(n-2)=ln(n-1)-ln(n-2)
……
a4-a3=ln4-ln3
a3-a2=ln3-ln2
加起来得到a(n+1)-a2=ln(n+1)-ln2
a2=a1+ln2代入上式得a(n+1)=ln(n+1)+2
最后得到an=lnn+2