求所有的有理数k,使得方程kx^2+(k+2)x+(k-1)=0的根都是整数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 15:14:31
求所有的有理数k,使得方程kx^2+(k+2)x+(k-1)=0的根都是整数
求所有的有理数k,使得方程kx^2+(k+2)x+(k-1)=0的根都是整数
求所有的有理数k,使得方程kx^2+(k+2)x+(k-1)=0的根都是整数
这是一道超奥数题.
答：使得方程kx^2+(k+2)x+(k-1)=0的根都是整数的所有有理数k=-1/3或1
kx^2+(k+2)x+(k-1)=0
2x-1=0
x=1/2,不符合已知条件,故k≠0
kx^2+(k+2)x+(k-1)=0的根都是整数
△=（k+2)^2-4k（k-1）≥0
3k^2-8k-4≤0
(4-2√7)/3≤k≤(4+2√7)/3
x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k)
-3k^2+8k+4=-3(k-4/3)^2+4+16/3
-3(k-4/3)^2≤0
-3k^2+8k+4≤4+16/3≤9
可知-3k^2+8k+4=0,1,2^2,3^2
讨论：
（1）-3k^2+8k+4=0
k=(4±2√7)/3
x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k)
=-1/2-1/k
x不全是整数,不符合已知条件.
（2）-3k^2+8k+4=1
k=(4±5)/3=3,-1/3
x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k)
=[-k-2±1)]/(2k)
=-1/2-1/k±1/(2k)
k=3,x不是整数,不符合已知条件;
k=-1/3
x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k)
=[-k-2±1)]/(2k)
=-1/2-1/（-1／3）±1/(-2／3)
=5/2±3/2
x=1,4,符合已知条件;
（3）-3k^2+8k+4=2^2
k=0,8/3,但k≠0
k=8/3
x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k)
=-1/2-1/k±2/(2k)
=-1/2-1/k±1/k
x不是整数,不符合已知条件.
（4）-3k^2+8k+4=9=3^2
k=1,5/3
k=1
x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k)
=(-1-2±3)/2
=(-3±3)/2
x=0,-3是整数,符合已知条件
k=5/3
x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k)
=(-5/3-2±3)/(2*5/3)
=(-11±9)/10
x不是整数,不符合已知条件.
可知,符合已知条件的k值只有
k＝-1/3,1