证明函数f(x)=x+4/x在区间【2,+无穷)上为增函数,并求f(x)在区间【3,+无穷)上的最小值如题
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/06 21:44:40
证明函数f(x)=x+4/x在区间【2,+无穷)上为增函数,并求f(x)在区间【3,+无穷)上的最小值如题
证明函数f(x)=x+4/x在区间【2,+无穷)上为增函数,并求f(x)在区间【3,+无穷)上的最小值
如题
证明函数f(x)=x+4/x在区间【2,+无穷)上为增函数,并求f(x)在区间【3,+无穷)上的最小值如题
令2<=x1
=x1+4/x1-(x2+4/x2)
=(x1-x2)+4(1/x1-1/x2)
=x1x2(x1-x2)/x1x2+4(x2-x1)/x1x2
=(x1²x2-x1x2²+4x2-4x1)/x1x2
=[x1(x1x2-4)+x2(4-x1x2)]/x1x2
=(x1x2-4)(x1-x2)/x1x2
x1x2-4>0 ;x1-x2<0 ;x1x2>0
所以f(x1)-f(x2)<0即f(x1)
因为在区间【2,+无穷)上为增函数
所以f(3)min=3+4/3=13/3
设2≤x1
=x2-x1+4/x2-4/x1
=(x2-x1)[1-4/(x1x2)]
=(x2-x1)(x1x2-4)/(x1x2)
因为x2-x1>0,2≤x1
于是有f(x2)-f(x1)>0，即f(x)在[2，+无穷)是增函数。
由于f(x)在[2...
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设2≤x1
=x2-x1+4/x2-4/x1
=(x2-x1)[1-4/(x1x2)]
=(x2-x1)(x1x2-4)/(x1x2)
因为x2-x1>0,2≤x1
于是有f(x2)-f(x1)>0，即f(x)在[2，+无穷)是增函数。
由于f(x)在[2,+无穷)是增函数，当然在[3,+无穷)也是增函数，所以在[3,+无穷)上f(x)最小值是f(3)=3+4/3=13/3.
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