初二几何题（最主要是第2个问）如图,在三角形ABC中,AB=AC,M是BC的中点,P、Q分别是边AB,AC上的点.（1）如图1,若∠MPB=∠MQC=90°,证明MP=MQ(2)如图2.,若∠MPB+∠MQC=180°,则（1）的结论是否仍然成立?若成
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/29 20:34:23
初二几何题（最主要是第2个问）如图,在三角形ABC中,AB=AC,M是BC的中点,P、Q分别是边AB,AC上的点.（1）如图1,若∠MPB=∠MQC=90°,证明MP=MQ(2)如图2.,若∠MPB+∠MQC=180°,则（1）的结论是否仍然成立?若成
初二几何题（最主要是第2个问）
如图,在三角形ABC中,AB=AC,M是BC的中点,P、Q分别是边AB,AC上的点.
（1）如图1,若∠MPB=∠MQC=90°,证明MP=MQ
(2)如图2.,若∠MPB+∠MQC=180°,则（1）的结论是否仍然成立?若成立,请证明；若不成立,请说明理由
第2个问的确成立，可是为什么呢？我还没有学到四点共圆，还有没有其他方法呢？
初二几何题（最主要是第2个问）如图,在三角形ABC中,AB=AC,M是BC的中点,P、Q分别是边AB,AC上的点.（1）如图1,若∠MPB=∠MQC=90°,证明MP=MQ(2)如图2.,若∠MPB+∠MQC=180°,则（1）的结论是否仍然成立?若成
证明:第2个问是成立的,用四点共圆证确实简单,用全等法证也可以证明,稍微繁琐点.
连接AM,在AB上截取一点D,使AD=AQ,连接AM
在△AMD和△AMQ中
∵ M是BC的中点,且AB=AC(等腰)
∴AM是∠A的平分线(等腰性质)
∴∠BAM=∠CAM
∵AD=AQ(已作)
∴△AMD≌△AMQ(SAS)
∴MD=MQ
∴∠ADM=∠AQM
∵∠AQM+∠MQC=180°
∴∠ADM+∠MQC=180°
又∵∠MPB+∠MQC=180°(已知)
∴∠ADM=∠MPB
∴MD=MP(△MPD是等腰三角形)
又∵MD=MQ(已证)
∴MP=MQ(结论成立)
成立 因为MPBQ四点共园 若MP=MQ 则角PAM=角MAQ
∠MPB+∠MQC=180°，
APMQ共圆，
AB=AC，M是BC的中点
等角度的弧相等。
MP=MQ