高二数学双曲线问题~求简单过程和答案~~急!

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 03:38:03
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高二数学双曲线问题~求简单过程和答案~~急!
设双曲线的焦点在x轴上,且过点A(1,0)和B(-1,0),P是双曲线上异于AB的任意一点,如果三角形APB的垂心H总在此双曲线上,求双曲线的标准方程.
设P(x0,y0).
因为H为垂心,于是PH⊥AB、AH⊥BP.
AB在x轴上,所以PH垂直于x轴,PH所在直线与双曲线只有两个交点,一个是P(x0,y0),另外一个为(x0,-y0)(双曲线的对称性).因为H也在双曲线上,所以H的坐标为(x0,-y0).
于是,向量AH=(x0-1,-y0)(点H、A的坐标相减),
向量BP=(x0+1,y0),
因为向量AH⊥BP,所以AH·BP=0(内积为0),
即(x0-1)*(x0+1)-y0^2=0,
化简得x0^2-y0^2=1.
P是双曲线上任意一点.双曲线上任意一点都满足上面这个方程,说明双曲线的方程为:x^2-y^2=1.

两个点代入,两条方程。。第三个点设起来,用重心的性质列第三条方程。。