∫∫|cos(x+y)|dxdy 其中A=[0,π]*[0,π] 这种绝对值的二重积分要怎麼做?

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/27 20:33:03
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∫∫|cos(x+y)|dxdy 其中A=[0,π]*[0,π] 这种绝对值的二重积分要怎麼做?
∵A=[0,π]*[0,π]
∴0≤x+y≤2π
∵当0≤x+y≤π/2时,cos(x+y)≥0
当π/2≤x+y≤3π/2时,cos(x+y)≤0
当3π/2≤x+y≤2π时,cos(x+y)≥0
∴∫∫|cos(x+y)|dxdy=∫dx[∫cos(x+y)dy-∫cos(x+y)dy]
+∫dx[-∫cos(x+y)dy+∫cos(x+y)dy]
=∫[(sin(π/2)-sinx)-(sin(π+x)-sin(π/2))]dx
+∫[(sin(π+x)-sin(3π/2))-(sin(3π/2)-sinx)]dx
=2∫dx+2∫dx
=2*(π/2)+2*(π-π/2)
=2π.

积分区域为矩形,不过原点的对角线以下被积函数为cos(x+y),以上为-cos(x+y).

第一步:
方法一:将x+y代换为u,x-y代换为V;
方法二:cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny;

第二步:确定区间,将绝对值去掉,变成分段积分。