已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)×f（y）,且f(0)≠0,证明f(x)是偶函数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 09:01:32
已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)×f（y）,且f(0)≠0,证明f(x)是偶函数
已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)×f（y）,且f(0)≠0,证明f(x)是偶函数
已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)×f（y）,且f(0)≠0,证明f(x)是偶函数
令y=0
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)×f（y）
=>f(x)+f(x)=2f(x)*f(0)
=>f(0)=1
令x=0
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)×f（y）
=>f(y)+f(-y)=2f(0)*f(y)
=>f(-y)=f(y)
=>f(x)是偶函数
令x=y=0
故：f(0+0)+f(0-0)=2f(0)f(0)
即：2f(0)=2 f(0)f(0)
因为f(0)≠0
故：f(0)=1
令x=0
故：f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)
故：f(y)+f(-y)=2f(y)
故：f(-y)=f(y)
因为y任意
故：f(-x)=f(x)
故：f(x)是偶函数（定义域R关于原点对称）
要证明f(x)是偶函数即证明f(x)=f(-x)。注意题中已知条件f(0)不等于0。证明:令x=y=0，代入已知关系式，得2f(0)=2f(0)^2，所以f(0)=1(因为f(0)不等于0)。然后令x=0，得f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)，所以f(-y)=f(y)亦即f(-x)=f(x)，f(x)是偶函数得证。
要证明f(x)为偶函数，只需证明f（x）=f（-x)
此题我们假设x=1，y=0则
f（1）+f（1）=2f（1）* f(0)
所以f(0)=1
再假设x=0则
f(y)+f(-y)=2f(0)*f(y)
即
f(y)+f(-y)=2f(y)
所以
f(y)=f(-y)
可得
f(y)为偶函数
证明完毕