用数学归纳法证明4的（2n+1)次方+3的（n+2）次方能被13整除
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 06:25:06
用数学归纳法证明4的（2n+1)次方+3的（n+2）次方能被13整除
用数学归纳法证明4的（2n+1)次方+3的（n+2）次方能被13整除
用数学归纳法证明4的（2n+1)次方+3的（n+2）次方能被13整除
证明：
（1）N=1：
4^(2+1)+3^(1+2)=64+27=91=7*13
显然能够被13整除.
（2）假设N=K时,原式能够被13整除.
那么当N=K+1时有：
4^[2(k+1)+1]+3^(k+1+2)=4^(2k+3)+3^(k+3)=4^(2k+1)*16+3^(k+2)*3=4^(2k+1)*(13+3)+3^(k+2)*3
=13*4^(2k+1)+3*4^(2k+1)+3*3^(k+2)
=13*4^(2k+1)+3*[4^(2k+1)+3^(k+2)]
因为：4^(2k+1)+3^(k+2)能够被13整除,
所以,上式也能够被13整除.
综上所述,4的（2n+1)次方+3的（n+2）次方能被13整除
证明：
n=0 时，
4^(2n+1) + 3^(n+2) = 4^1 + 3^2 = 4 + 9 = 13
13/13 = 1
命题成立
假设 n = k 时 命题成立，即
f(k) = 4^(2k+1) + 3^(k+2)
f(k)/13 是整数，
并设 f(k) = 13*m，其中 m 是整数
则 n=k+1时
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证明：
n=0 时，
4^(2n+1) + 3^(n+2) = 4^1 + 3^2 = 4 + 9 = 13
13/13 = 1
命题成立
假设 n = k 时 命题成立，即
f(k) = 4^(2k+1) + 3^(k+2)
f(k)/13 是整数，
并设 f(k) = 13*m，其中 m 是整数
则 n=k+1时
f(k+1)
= 4^[2(k+1)+1] + 3[(k+1)+2]
= 4^(2k+3) + 3^(k+3)
= 16*4^(2k+1) + 3^(k+3)
= 16*[f(k) - 3^(k+2)] + 3*3^(k+2)
= 16*f(k) - 16*3^(k+2) + 3*3^(k+2)
= 16*f(k) - (16-3) * 3^(k+2)
= 16*f(k) - 13 * 3^(k+2)
因此
f(k+1)/13
= 16*f(k)/13 - 3^(k+2)
= 16m - 3^(k+2)
因为 16m - 3^(k+2) 是整数
所以 f(k+1)/13 是整数，即 f(k+1) 能被13整除。
因此 n = k+1 时，命题成立
综上所述，4^(2n+1) + 3^(n+2) 能被13 整除。
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