已知函数f(n)=2n/n+2,X1=1,Xn=f(Xn-1).则X2,X3,X4的值分别为多少?...已知函数f(n)=2n/n+2,X1=1,Xn=f(Xn-1).则X2,X3,X4的值分别为多少?猜想通式Xn的公式.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/02/01 04:23:42
已知函数f(n)=2n/n+2,X1=1,Xn=f(Xn-1).则X2,X3,X4的值分别为多少?...已知函数f(n)=2n/n+2,X1=1,Xn=f(Xn-1).则X2,X3,X4的值分别为多少?猜想通式Xn的公式.
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xn=f[x(n-1)]=2x(n-1)/[x(n-1)+2].
x2=2x1/(x1+2)=2/3、x3=2x2/(x2+2)=1/2=2/4、x4=2x3/(x3+2)=2/5.
猜想通项公式为:xn=2/(n+1).
则1/xn=1/x(n-1)+1/2,1/x1=1.
所以,数列{1/xn}是首项为1、公差为1/2的等差数列,1/xn=1+(n-1)/2=(n+1)/2.
所以,xn=2/(n+1).
此外,猜测到xn=2/(n+1)后,还可以用数学归纳法证明,如果用数学归纳法证明有困难,可以追问.
x2=2/3,x3=1/2,x4=2/5
猜想的通项公式为Xn=2/(n+1)
其通项公式也可以求出,如Xn=2Xn-1/(Xn-1+2),经过整理可得:2Xn-1+2Xn=Xn*Xn-1,此式两边同除以Xn*Xn-1,可得到1/Xn-1/Xn-1=1/2,可知{1/Xn}为等差数列,按照等差数列求通项公式即可求得{Xn}。