求一道分离变量微分方程的通解xy'-ylny=0.由于是自学,没老师教,没地方问了,才来百度的.

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/18 02:53:14

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求一道分离变量微分方程的通解xy'-ylny=0.由于是自学,没老师教,没地方问了,才来百度的.
求一道分离变量微分方程的通解
xy'-ylny=0.由于是自学,没老师教,没地方问了,才来百度的.

求一道分离变量微分方程的通解xy'-ylny=0.由于是自学,没老师教,没地方问了,才来百度的.
xy'-ylny=0 → dy/dx=(ylny)/x → 分离变量得: dy/(ylny)=dx/x
→ d(lny)/lny=d(lnx) ※之所以得出这一步是因为 d(lny)=dy/y ※
→ 两边积分得: ∫d(lny)/lny = ∫d(lnx)
→ ln|lny|=ln|x|+ln|C| ,C是任意不为0的常数(取成ln|C|纯粹是为了最后表达方便)
→ 两边取指数得：lny=Cx
可以验证,当C=0,即 y≡1 时,y=1也是微分方程xy'-ylny=0的一个解
综上所述,微分方程的通解是：lny=Cx 也即 y=e^(Cx) ,C为任意常数.
▲其实一阶常微分方程的初等解法（包括分离变量法）是微分方程理论中最基础也最简单的内容,必须牢牢掌握!如果感觉阅读这一部分内容有困难,请务必复习一下一元微积分的基础知识!

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