在四边形ABCD中,CD||AB,AD=BC,对角线AC,BD交于点O,角ACD=60度,点P,Q,S分别为OA,BC,OD中点求证三角形SPQ是等边三角形
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 01:53:53
在四边形ABCD中,CD||AB,AD=BC,对角线AC,BD交于点O,角ACD=60度,点P,Q,S分别为OA,BC,OD中点求证三角形SPQ是等边三角形
在四边形ABCD中,CD||AB,AD=BC,对角线AC,BD交于点O,角ACD=60度,点P,Q,S分别为OA,BC,OD中点
求证三角形SPQ是等边三角形
在四边形ABCD中,CD||AB,AD=BC,对角线AC,BD交于点O,角ACD=60度,点P,Q,S分别为OA,BC,OD中点求证三角形SPQ是等边三角形
由题知,四边形ABCD是以AB、CD为底的等腰梯形,
∠ACD=60°,容易知道,ΔOCD、ΔOAB是等边三角形
连接CS、BP,则CS⊥BD、BP⊥AC
∴P、S、B、C四点共圆,且圆心为BC中点Q
∴QP=QS=BC/2
又P、S是OA、OD中点,
∴PS∥AD
PS=AD/2=BC/2
∴QP=QS=PS=BC/2
∴ΔQPS是等边三角形
证明：连结BP、CS。
因为 CD//AB，AD=BC，
所以 四边形ABCD是等腰梯形，
所以 AC=BD，
又因为 AD=BC，CD=CD，
所以 三角形ACD全等于三角形BCD，
所以 角BDC=角ACD=60度，
所以 ...
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证明：连结BP、CS。
因为 CD//AB，AD=BC，
所以 四边形ABCD是等腰梯形，
所以 AC=BD，
又因为 AD=BC，CD=CD，
所以 三角形ACD全等于三角形BCD，
所以 角BDC=角ACD=60度，
所以 三角形OCD是等边三角形，
因为 S是OD的中点，
所以 CS垂直于OD，三角形BCS是直角三角形，
因为 Q是BC的中点，
所以 QS=BC/2，
同理： QP=BC/2 ，
因为 P、S分别是OA、OD的中点，
所以 PS=AD/2，
因为 AD=BC，
所以 QS=QP=QS，
所以 三角形SPQ是等边三角形。
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四边形有两种情况，或者平行四边形或者等腰梯形，无论是哪种情况，连接CS、BP，由于等腰梯形和平行四边形的对角线都是相等的，所以无论四边形为何种情况，结合条件AD=BC都可以知道三角形CDA与三角形DCB全等，所以角BDC=角ACD=60度，三角形OCD和OAB都是等边三角形，又因为点P，S分别为OA,OD中点，所以CS⊥BD、BP⊥AC，∴QP=QS=BC/2 （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一...
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四边形有两种情况，或者平行四边形或者等腰梯形，无论是哪种情况，连接CS、BP，由于等腰梯形和平行四边形的对角线都是相等的，所以无论四边形为何种情况，结合条件AD=BC都可以知道三角形CDA与三角形DCB全等，所以角BDC=角ACD=60度，三角形OCD和OAB都是等边三角形，又因为点P，S分别为OA,OD中点，所以CS⊥BD、BP⊥AC，∴QP=QS=BC/2 （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）又P、S是OA、OD中点， ∴PS∥AD PS=AD/2=BC/2 ∴QP=QS=PS=BC/2 ∴ΔQPS是等边三角形
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