已知四棱锥P-ABCD的侧面是正三角形,E是PC的中点.求证：PA//平面BDE
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 06:13:45
已知四棱锥P-ABCD的侧面是正三角形,E是PC的中点.求证：PA//平面BDE
已知四棱锥P-ABCD的侧面是正三角形,E是PC的中点.求证：PA//平面BDE
已知四棱锥P-ABCD的侧面是正三角形,E是PC的中点.求证：PA//平面BDE
证明：连接AC,BD,相交于o, 设棱长a.
因为P-ABCD的侧面是正三角形,所以ABCD是正方形.边长为a,
O是中心（对角线互相平分）
E,O分别是PC,AC的中点所以EO是三角形PAC的中位线.
即：PA||OE OE是平面BDE内的一条直线.
根据定理平行于平面的一条直线.就平行于这个平面.
命题得证.
设ABCD对角线AC，BD交点为O，连接E，O
由于侧面都是正三角形，故而有，ABCD是菱形，O是AC的中点
三角形PAC中，E,O分别是PC,AC中点，从而EO//PA
又 EO是平面BED内的直线，PA是平面BDE外的直线
所以必有 PA//平面BDE
因为四棱锥的侧面是正三角形，则PA=PB=PC=PD，而AB=PA，BC=PB，CD=PC，AD=PD，即AB=CD=BC=AD，可证ABCD是菱形，分别连接AC、BD，相较于点F，连接EF，F为AC中点，E为PC中点，在三角形PAC中，EF平行于PA，根据判定定理，PA平行于平面BDE
（1）作AD中点E，连EP，则且
作P在平面ABCD上的投影（在菱形ABCD外没有画出），连
平面
为已知二面角的补角，为
中，
即P到平面ABCD距离为
（2）连BE，
在中，
在中，
，作BP中点F，连AF，作交PC于G
G为CP中点
即为所求的二面角
又
又菱形
中，
中...
全部展开
（1）作AD中点E，连EP，则且
作P在平面ABCD上的投影（在菱形ABCD外没有画出），连
平面
为已知二面角的补角，为
中，
即P到平面ABCD距离为
（2）连BE，
在中，
在中，
，作BP中点F，连AF，作交PC于G
G为CP中点
即为所求的二面角
又
又菱形
中，
中，G为PC中点，可由平行四边形对角线平方和等于四边平方之和得：
又
二面角为
收起