已知α与β都是锐角,cosα=1/7,sin（α+β）=5倍根号3/14,求β的值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 10:23:12
已知α与β都是锐角,cosα=1/7,sin（α+β）=5倍根号3/14,求β的值
已知α与β都是锐角,cosα=1/7,sin（α+β）=5倍根号3/14,求β的值
已知α与β都是锐角,cosα=1/7,sin（α+β）=5倍根号3/14,求β的值
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=(5√3)/14
cosα1/7,sinα=(4√3)/7
sin(α+β)=4√3/7*cosβ+(1/7)*sinβ=(5√3)/14.
各项同除以cosβ,得：
4√3/7+(1/7)tanβ =[(5√3)/14]secβ.【sec^2β=1+tan^2β】：
4√3+tanβ=[(5√3)/2]*√(1+tan^2β).
两边平方：
48+8√3tanβ+tan^2β=(75/4)*(1+tan^2β).合并整理后得：
71tan^2β-32√3tanβ-117=0.
tanβ={32√3±√[(32√3)^2-4*71*(-117)]}/2*71.
tanβ=[32√3±190.52]/142
=(55.36+190.52)/142.【∵β＜90°,∴去掉负值】
∴tanβ=1.7315
β=arctan(1.7315).
β=59.99°
∴ β≈60°.
α与β都是锐角，cosα=1/7,sinα=4根号3/14
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=4根号3/14cosβ+1/7sinβ=5倍根号3/14
(cosβ)^2+(sinβ)^2=1
联立方程
由题易知：α，β∈(0，π/2)，cosα=1/7，sin(α+β)=5√3/14，
所以sinα=4√3/7，cos(α+β)=-11/14，或11/14。
当cos(α+β)=-11/14时，
cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)*cosα+sin(α+β)*sinα
=-11/14*1/7+5√3/14*4√3/7=49/98=...
全部展开
由题易知：α，β∈(0，π/2)，cosα=1/7，sin(α+β)=5√3/14，
所以sinα=4√3/7，cos(α+β)=-11/14，或11/14。
当cos(α+β)=-11/14时，
cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)*cosα+sin(α+β)*sinα
=-11/14*1/7+5√3/14*4√3/7=49/98=1/2，
所以β=π/3；
当cos(α+β)=11/14时，
cosβ=71/98，所以β=arccos71/98。
收起
方法：（1）可以通过cosα算出sinα
（2）然后代入sin（α+β）的展开式
（3）再利用公式asinα+bcosα=根号下（a的平方+b的平方）sin（α+r），其中sinr=b/根号下（a的平方+b的平方）
（4）最后用反三角函数表示β