用洛必达法则求极限（1）lim(x→0＋)x^sinx 完整解题
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/06 04:45:40
用洛必达法则求极限（1）lim(x→0＋)x^sinx 完整解题
用洛必达法则求极限（1）lim(x→0＋)x^sinx 完整解题
用洛必达法则求极限（1）lim(x→0＋)x^sinx 完整解题
令y=x^sinx
lny = sinxlnx
因为
lim(x->0+)sinx lnx
=lim(x->0+)[lnx/(1/sinx)]
当x趋于0+时 分数线上下都是趋于0的
所以由洛必达法则
原式= lim(x->0+)[(1/x)/(-cosx/sin²x]
=lim(x->0+)[-(sin²x)/x]
再次利用洛必达法则
原式=lim(x->0+)2sinxcosx = 0
即lny在x趋于0+的极限是0
所以lim(x->0+)y = e^0 = 1
转化为e的指数:x^sinx=e^(sinxlnx),原极限=e^[lim(sinxlnx)]
limsinxlnx=limxlnx=limlnx//x^(-1)(洛必达)=limx^(-1)/[-x^(-2)]=0
原极限=e^0=1
将原式化为：(e^lnx)^sinx=e^(sinx*lnx)
现在根据复合函数极限的法则只需要求出：lim(x→0+)sinx*lnx
这个可以用洛毕达法则来求：
lim(x→0+)sinx*lnx=lim(x→0+)lnx/cscx=lim(1/x)/(-cscx*cotx)=(1/x)*(-sin²x/cosx)=-1*[(sinx)/x]*tanx=0
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将原式化为：(e^lnx)^sinx=e^(sinx*lnx)
现在根据复合函数极限的法则只需要求出：lim(x→0+)sinx*lnx
这个可以用洛毕达法则来求：
lim(x→0+)sinx*lnx=lim(x→0+)lnx/cscx=lim(1/x)/(-cscx*cotx)=(1/x)*(-sin²x/cosx)=-1*[(sinx)/x]*tanx=0
∴lim(x→0+)sinx*lnx=0
∴lim(x→0＋)x^sinx=lim(x→0＋)e^(sinx*lnx)=1
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