反函数的导数是原函数的导数的倒数如何理解,先介绍,在举例说明

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/22 18:19:33

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反函数的导数是原函数的导数的倒数如何理解,先介绍,在举例说明
y = f(x)
反函数：x = g(y)
g() = f'() ---- f 的反函数
dg(x)/dx = dx/dy = 1/(dy/dx) = 1/[df(x)/dx]
即："反函数的导数是原函数的导数的倒数"
举例：原函数：y ＝ ln x
反函数：x ＝ e^(y)
即：反函数x =e^(y)的导数dx/dy=e^(y)等于原函数y=ln x的导数(1/x)的倒数x,即e^(y).

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理解方法有很多啊。
说一个比较通常的理解吧，函数f(x), 定义域是D，值域Df,设一个数对(x0,f(x0))，令y0=f(x0).
也就是说如果这个函数有反函数的话，
命题f(x)在x0处的导数为f'(x0),等价于说其反函数在y0处的导数值是1/f'(x0).
因为两个函数之间实际上不过是把x和y换了一下，也就把f(x)的导数（y1-y0）/(x1-x0)换成了
（x1-x0）/(y1-y0),在数值上就变成倒数关系了，前者是x1在分母上，后者是y1在分母上。
比如y=x^2,它在（1，2）处的导数值是2，
它的反函数在（1, 2）处的导数值是1/2。

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