函数方程求所有满足f(x+y)=f(x)+f(y)+b（b是任意实数）的函数.这是全部的分数了，我实在没有头绪，像是f(x+y)=f(x)+f(y)的我就会了对了，题目要求的是连续函数。
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 09:49:49
函数方程求所有满足f(x+y)=f(x)+f(y)+b（b是任意实数）的函数.这是全部的分数了，我实在没有头绪，像是f(x+y)=f(x)+f(y)的我就会了对了，题目要求的是连续函数。
函数方程
求所有满足f(x+y)=f(x)+f(y)+b（b是任意实数）的函数.
这是全部的分数了，我实在没有头绪，像是f(x+y)=f(x)+f(y)的我就会了
对了，题目要求的是连续函数。
函数方程求所有满足f(x+y)=f(x)+f(y)+b（b是任意实数）的函数.这是全部的分数了，我实在没有头绪，像是f(x+y)=f(x)+f(y)的我就会了对了，题目要求的是连续函数。
又见面了啊,感谢你之前帮我的那道题
令g(x)=f(x)-b,则g(x+y)=g(x)+g(y),
在方程g(x+y)=g(x)+g(y)中取y=x,得g(2x)=2g(x),
下面用数学归纳法证明对一切n∈Z,x∈R,均有g(nx)=ng(x),
归纳基础已经证得,假设当n=k时有g(kx)=kg(x),
则当n=k+1时,g((k+1)x)=g(kx)+g(x)=kg(x)+g(x)=(k+1)g(x),
因此对一切n∈Z,x∈R,均有g(nx)=ng(x),
则当x=1时,有g(n)=ng(1),
设r=p/q,其中p,q∈Z,
则qg(r)=g(p)=pg(1),即g(p/q)=pg(1)/q,
故对一切r∈Q均有g(r)=rg(1),
下面结合可加性与单调性证明对于一切x∈R均有g(x)=xg(1),
若g(x)是单调递增函数,
任取实数x,根据有理数在实数中的稠密性,可以选取一列有理数｛pn｝递增地
趋向于x和一列有理数｛qn｝递减地趋向于x.根据g(x)的单调性可得
png(1)=g(pn)≤g(x)≤g(qn)=qng(1),n=1,2,3,……
在上式两边令n趋向于无穷,可得xg(1)≤g(x)≤xg(1),
同理若g(x)是单调递减函数,可得xg(1)≥g(x)≥xg(1),
故对一切x∈R均有g(x)=xg(1),
令g(1)=c,则g(x)=cx,故f(x)=g(x)+b=cx+b.
f(x)=ax-b
∴f(x+y)=a(x+y)-b=(ax-b)+(ay-b)+b=f(x)+f(y)+b
满足f(x+y)=f(x)+f(y)+b（b是任意实数）
说明
f(x+y)-[f(x)+f(y)]=b（b是任意实数）
令y=0
得 f(x)-[f(x)+f(0)]=b 即 f（0）=-b
令y=-x
得f(x-x)-[ f(x)+f(-x)]=b
整理得， f（x）+f(-x)=f(x-x)+b=-b+b=0
说明...
全部展开
满足f(x+y)=f(x)+f(y)+b（b是任意实数）
说明
f(x+y)-[f(x)+f(y)]=b（b是任意实数）
令y=0
得 f(x)-[f(x)+f(0)]=b 即 f（0）=-b
令y=-x
得f(x-x)-[ f(x)+f(-x)]=b
整理得， f（x）+f(-x)=f(x-x)+b=-b+b=0
说明 f(x)=-f(-x) 这个函数很可能是奇函数。
综上，如果写一个分段函数，就可以满足题意了：
b x=0
f（x）=
x x≠0
收起