一道有点难的函数题已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2^x,若不等式af(x)+g(x)≥0对x在﹙0,1]上恒成立,求实数a的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/04 02:18:03
一道有点难的函数题已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2^x,若不等式af(x)+g(x)≥0对x在﹙0,1]上恒成立,求实数a的取值范围.
一道有点难的函数题
已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2^x,若不等式af(x)+g(x)≥0对x在﹙0,1]上恒成立,求实数a的取值范围.
一道有点难的函数题已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2^x,若不等式af(x)+g(x)≥0对x在﹙0,1]上恒成立,求实数a的取值范围.
f(x)+g(x)=2^x.(1)
f(-x)+g(-x)=2^(-x)
-f(x)+g(x)=2^(-x).(2)
(1)(2)：得到
2f(x)=2^x-2^(-x)
2g(x)=2^x+2^(-x)
af(x)+g(x)≥0
a[2^x-2^(-x)]+2^x+2^(-x)>=0
(a+1)2^x+(1-a)/2^x>=0.(3),x∈（0,1],2^x∈(1,2],(3)×2^x
(a+1)[2^x]^2+(1-a)>=0,令t=2^x∈(1,2],
f(t)=(a+1)t^2+(1-a)>=0,对于t∈(1,2],恒成立
（1）如果：a=-1,f(t)=2>0,满足题意
（2）如果：a>-1,则函数f(t)开口向上,f(t)>f(1)=a+1+1-a=2>0满足题意
（3）如果：a=f(2)=4(a+1)+(1-a)>=0,a>=-5/3
综上所述：a>=-5/3
f(x)+g(x)=2^x，f(x)和g(x)的定义域都为R，所以f(-x)+g(-x)=2^(-x)，又f(x)和g(x)分别是奇函数和偶函数，故有-f(x)+g(x)=2^(-x)，从而有f(x)=2^(x-1)-2^(-x-1)，g(x)=2^(x-1)+2^(-x-1)。
af(x)+g(x)=(a+1)*2^(x-1)+(1-a)*2^(-x-1)≥0 <=> (a+1)*2^(...
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f(x)+g(x)=2^x，f(x)和g(x)的定义域都为R，所以f(-x)+g(-x)=2^(-x)，又f(x)和g(x)分别是奇函数和偶函数，故有-f(x)+g(x)=2^(-x)，从而有f(x)=2^(x-1)-2^(-x-1)，g(x)=2^(x-1)+2^(-x-1)。
af(x)+g(x)=(a+1)*2^(x-1)+(1-a)*2^(-x-1)≥0 <=> (a+1)*2^(x-1)≥(a-1)*2^(-x-1) <=> (a+1)*4^x≥a-1，若a+1≥0，即a≥-1，则(a+1)*4^x>a+1>a-1，其中x在(0，1]上，上述不等式成立。
若a+1<0，即a<-1，则(a-1)/(a+1)≥4^x，由于x在(0，1]上，所以4^x≥4，因而根据题意必须有
(a-1)/(a+1)≥4 => -1>a≥-5/3
综上，实数a的取值范围是[-5/3，∞）。
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