三角形面积公式怎样推导

三角形面积公式怎样推导
三角形面积公式怎样推导

三角形面积公式怎样推导
1、通过让学生积极主动地去探索三角形面积计算公式,亲身经历三角形面积公式的探索形成过程,感受转化的数学思想和方法. 2、让学生理解三角形面积计算公式,能正确地计算三角形的面积. 3、通过动手操作、观察、比较,培养学生问题意识,概括能力和推理能力,发展学生的空间观念. 教学重点、难点： 让学生经历三角形面积公式的推导过程,培养转化的数学思想和方法,概括能力和推理能力,发展学生的空间观念. 教学设计： 一、复习. 提问：你知道的平面图形有哪些?（根据学生回答出示相应图形） 我们学会计算面积的有哪些?（板书：长方形面积=长×宽） 师：今天我们一起来研究三角形的面积. （生：……） 三角形的面积=底×高÷2是我们从书中了解到的,是数学家推导出来的.是依据什么、怎样推导出的呢?今天我们也来作回数学家,利用你们手中的三角形,通过拼一拼、折一折、剪一剪把三角形转化成已经学过的长方形来推导出三角形面积=底×高÷2. 二、动手操作,归纳 1.学生以小组合作的形式来推导公式. （每个小组有一套三角形学具,包括2个完全相同的直角三角形,1个等腰三角形,1个钝角三角形和1个锐角三角形） 汇报、展示 2、归纳、演示 把一个等腰三角形沿着底边上的高,从中间剪开成两个三角形,（这两个三角形大小相等、形状相同）拼成一个长方形. 拼成的长方形的长就是原三角形的高,长方形的宽是原三角形的底边的一半.所以长方形面积= 高×底÷2也就是三角形的面积.所以三角形面积=高×底÷2,变形后得：三角形面积=底×高÷2 把一个直角三角形的一条高对折后剪开,把剪下的小三角形补在一边,拼成长方形. 拼成的长方形的长是原三角形的底,长方形的宽是原三角形高的一半.所以长方形面积=底×高÷2,也就是三角形的面积.所以三角形面积=底×高÷2 等腰三角形和直角三角形是特殊的三角形,那么是不是只有特殊的三角形才能转 化成长方形从而推导出三角形面积公式,而一般的三角形就不能呢? 把一个三角形沿着两边的中点对折,然后把两边多余部分往里折,折成一个2层的长方形. 折成的长方形的长是原三角形底边的一半,宽也是原三角 高的一半,所以长方形面积=底÷2×高÷2.而这样的长方形有2个,所以 三角形面积=底÷2×高÷2×2,变形后得：三角形面积=底×高÷2 把2个完全相同的直角三角形拼成一个长方形,长方形的长就是直角三角形的高,长方形的宽就是直角三角形的底.长方形面积=底×高,三角形面积是这个长方形面积的一半,所以三角形面积=底×高÷2 3、教师小结 同学们真了不起,想出了这么多好方法推导出三角形的面积公式.如果用S表示 三角形面积,a表示三角形的底,h表示三角形的高,那么三角形的面积公式的 字母表达式可以写成S=a×h÷2.有了这个公式我们就可以解答有关的题目了. 三、应用 口答下列三角形的面积.练习.（单位：cm） 四、小结 谈谈这节课你的收获是什么?通过学习你能解决什么生活问题?
希望满意!

设三角形ABC外接圆半径为r，则
S三角形ABC=（1/2)absinC=2r^2sinAsinBsinC<=2r^2[(sinA+sinB+sinC)/3]^3（均值不等式）<=2r^2{sin[(A+B+C)/3]}^3=(3√3/4)r^2（琴生不等式）
等号当sinA=sinB=sinC,即A=B=C时成立，所以当三角形为正三角形时面积最大。
以三角形任意两边的中点...

全部展开

设三角形ABC外接圆半径为r，则
S三角形ABC=（1/2)absinC=2r^2sinAsinBsinC<=2r^2[(sinA+sinB+sinC)/3]^3（均值不等式）<=2r^2{sin[(A+B+C)/3]}^3=(3√3/4)r^2（琴生不等式）
等号当sinA=sinB=sinC,即A=B=C时成立，所以当三角形为正三角形时面积最大。
以三角形任意两边的中点连接，，如图，O,F分别是AB,AC的中点，连接OF,OF平行BC，2OF=BC,,在三角形AOF中以任意一个中点（O或F)为圆心旋转，使A点与B点或C点重合，，，边角边公式，，三角形AOF与三角形BOE或三角形CPF全等，四边形EBCF或四边形OBCP面积为三角形ABC的面积，，底面相同，高度减半

收起

哇100分。我告诉你
三角形面积公式有很多一个
第一 ： 就是小学的 底乘高除以二 证明： 2个三角形可以拼成一个平行四边形
故S=1/2*a*h(这个小学课本上应该有，你可以去看一下）
第二： 就是利用海伦公式 ， 就是在一个三角形中，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： 　　S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]...

全部展开

哇100分。我告诉你
三角形面积公式有很多一个
第一 ： 就是小学的 底乘高除以二 证明： 2个三角形可以拼成一个平行四边形
故S=1/2*a*h(这个小学课本上应该有，你可以去看一下）
第二： 就是利用海伦公式 ， 就是在一个三角形中，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： 　　S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 　　而公式里的p为半周长： 　　p=(a+b+c)/2
证明比较难（这个公式很实用）， 要用余弦定理(高中学的），详细证明如下：设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为 　　cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab 　　S=1/2*ab*sinC 　　=1/2*ab*√(1-cos^2 C) 　　=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] 　　=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] 　　=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] 　　=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] 　　=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 　　设p=(a+b+c)/2 　　则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 　　上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] 　　=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 　　所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
第三： S（三角形面积）=1/2 ab*sinC （用到正弦（初中学的）），证明较简单
不知楼主是否满意，
打了那么多，好累啊！
望采纳(⊙o⊙)哦
谢谢

收起

1. 海伦公式的确不错，S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中p=（a+b+c）/2；
推导需要余弦定理：cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab 和基本的面积公式：S=1/2 ab*sinC
然后就是公式化简了，sinC=√（1-cosC^2）
总的来说，三角形面积公式的各种变化，不过是从不同的角度来表达“底X高/2”而已。...

全部展开

1. 海伦公式的确不错，S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中p=（a+b+c）/2；
推导需要余弦定理：cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab 和基本的面积公式：S=1/2 ab*sinC
然后就是公式化简了，sinC=√（1-cosC^2）
总的来说，三角形面积公式的各种变化，不过是从不同的角度来表达“底X高/2”而已。

收起

dou答了，别人，对

第一 ： 就是小学的 底乘高除以二 证明： 2个三角形可以拼成一个平行四边形
故S=1/2*a*h(这个小学课本上应该有，你可以去看一下）
第二： 就是利用海伦公式 ， 就是在一个三角形中，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： 　　S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 　　而公式里的p为半周长： 　　p=(a+b+c)/2
证明比较难...

全部展开

第一 ： 就是小学的 底乘高除以二 证明： 2个三角形可以拼成一个平行四边形
故S=1/2*a*h(这个小学课本上应该有，你可以去看一下）
第二： 就是利用海伦公式 ， 就是在一个三角形中，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： 　　S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 　　而公式里的p为半周长： 　　p=(a+b+c)/2
证明比较难（这个公式很实用）， 要用余弦定理(高中学的），详细证明如下：设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为 　　cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab 　　S=1/2*ab*sinC 　　=1/2*ab*√(1-cos^2 C) 　　=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] 　　=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] 　　=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] 　　=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] 　　=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 　　设p=(a+b+c)/2 　　则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 　　上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] 　　=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 　　所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
第三： S（三角形面积）=1/2 ab*sinC （用到正弦（初中学的）），证明较简单

收起