一.已知数列{an}的第一项a1=5且Sn-1=an(n≥2,n∈N*)1.求a1,a1,a3,并由此猜想an的表达式2.用数学归纳法证明{an}的通项公式二.用数学归纳法证明1/(1*2)+1/(3*4)+……+1/[(2n-1)2n]=1/(n+1)+1/(n+2)+……+1/(n+n)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 20:22:49
一.已知数列{an}的第一项a1=5且Sn-1=an(n≥2,n∈N*)1.求a1,a1,a3,并由此猜想an的表达式2.用数学归纳法证明{an}的通项公式二.用数学归纳法证明1/(1*2)+1/(3*4)+……+1/[(2n-1)2n]=1/(n+1)+1/(n+2)+……+1/(n+n)
一.已知数列{an}的第一项a1=5且Sn-1=an(n≥2,n∈N*)
1.求a1,a1,a3,并由此猜想an的表达式
2.用数学归纳法证明{an}的通项公式
二.用数学归纳法证明
1/(1*2)+1/(3*4)+……+1/[(2n-1)2n]=1/(n+1)+1/(n+2)+……+1/(n+n)
一.已知数列{an}的第一项a1=5且Sn-1=an(n≥2,n∈N*)1.求a1,a1,a3,并由此猜想an的表达式2.用数学归纳法证明{an}的通项公式二.用数学归纳法证明1/(1*2)+1/(3*4)+……+1/[(2n-1)2n]=1/(n+1)+1/(n+2)+……+1/(n+n)
你的这个式子有歧义：sn-1=an
我暂且认为n-1是下标.
1.很明显的a1=5 a2=5 a3=10,如果继续写的话可以发现,除了a2以外,其他的都是an=2a（n-1）,所以an=5(n=1),an=5*[2^(n-2)]
2.我想你大概可能是第二问没做出来
先把n=1带入,很明显原式成立.
接下来我们假设n=k时成立,那么只需证明n=k+1时成立即可.
n=k+1时,
1/(1*2)+1/(3*4)+……+1/[(2n-1)2n]
=1/(1*2)+1/(3*4)+……+1/[(2k-1)2k]+1/[(2k+1)(2k+2)]
=1/(k+1)+1/(k+2)+……+1/(k+k)+1/[(2k+1)(2k+2)]
=1/(k+1)+1/[(2k+1)(2k+2)]+1/(k+2)+……+1/(k+k)
=(4k+3)/[(2k+1)(2k+2)]+1/(k+2)+……+1/(k+k)
=1/(2k+1)+1/(2k+2)+1/(k+2)+……+1/(k+k)
显然请观察上面得出的式子就是当n=k+1是等式的右边,所以得证
一
1
a1=5
a2=S1=a1=5
a3=S2=a1+a2=10
a1=5，an=5×2^（n-2） （n≥2）
2证明：
（1）当n=2时，a2=5×2^（2-2）=5等式成立
（2）假设当n=k（k≥2）时公式成立即ak=5×2^（k-2）
则a（k+1）=Sk=ak+S（k-1）=2ak=2×5×2^（k-2）...
全部展开
一
1
a1=5
a2=S1=a1=5
a3=S2=a1+a2=10
a1=5，an=5×2^（n-2） （n≥2）
2证明：
（1）当n=2时，a2=5×2^（2-2）=5等式成立
（2）假设当n=k（k≥2）时公式成立即ak=5×2^（k-2）
则a（k+1）=Sk=ak+S（k-1）=2ak=2×5×2^（k-2）=5×2^[（k+1）-2]
所以当n=k+1时an=5×2^（n-2）也成立
由（1）、（2）可知a1=5，an=5×2^（n-2） （n≥2）
二证明：
（1）当n=1是左=1/2，右=1/2显然等式成立
（2）假设当n=k（k≥1，整数）等式成立，
即1/(1*2)+1/(3*4)+……+1/[(2k-1)2k]=1/(k+1)+1/(k+2)+……+1/(k+k)
则1/(1*2)+1/(3*4)+……+1/[(2k-1)2k+1/[(2k+1)2（k+1）]
=1/(k+1)+1/(k+2)+……+1/(k+k)+1/[(2k+1)2（k+1）]
=1/(k+1)+1/(k+2)+……+1/(k+k)+1/(2k+1)-1/2（k+1）
=1/(k+2)+……+1/(k+k)+1/(2k+1)+1/2（k+1）
=1/[(k+1)+1]+1/[(k+1)+2]……+1/[(k+1)+(k-1)]+1/[(k+1)+k]+1/[（k+1）+(k+1)]
所以当n=k+1时等式也成立
由（1）、（2）可知1/(1*2)+1/(3*4)+……+1/[(2n-1)2n]=1/(n+1)+1/(n+2)+……+1/(n+n) 成立
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