在1+11+111+1111+.+111..1111(最后一项2009个1)的和之中,数字1 共出现的次数是多少
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/01/09 17:33:26
在1+11+111+1111+.+111..1111(最后一项2009个1)的和之中,数字1 共出现的次数是多少
在1+11+111+1111+.+111..1111(最后一项2009个1)的和之中,数字1 共出现的次数是多少
在1+11+111+1111+.+111..1111(最后一项2009个1)的和之中,数字1 共出现的次数是多少
因111...1(n个1)=999...9(n个9)/9=(10^n-1)/9
所以原式
(10-1)/9+(100-1)/9+(1000-1)/9+...+(1000...0(2009个0)-1)/9
=111...1(2009个1)0/9-2009/9
=111...1(2005个1)09101/9
=123456790123456790123456790...(2005/9=222...7;222组)12345678789(是111111109101/9得来的)
所以共有222+2=224个1
观摩一下
有223个1
Sn=(an+1-(n+1))/9
1个1
上面的数相加的和相当于对一个数列求和,这个数列是:An=n*10^(n-1)(2009个1是个位,2008个1是10位……)
An - 10An-1= n10^(n-1) - (n-1)*10^(n-1) =10^(n-1)
设Sn为 An的前n项和
Sn = An + An-1 + …… +...
全部展开
1个1
上面的数相加的和相当于对一个数列求和,这个数列是:An=n*10^(n-1)(2009个1是个位,2008个1是10位……)
An - 10An-1= n10^(n-1) - (n-1)*10^(n-1) =10^(n-1)
设Sn为 An的前n项和
Sn = An + An-1 + …… + A2 + A1
10Sn =10An + 10An-1 + 10An-2 + …… + 10 A1
错位相减
10Sn -Sn = 10An- A1 -( 10^n+1010^(n-1)+……+10)
9Sn = n*10^n - 11111…(n个1)
当n=2009时
9S = 20090000……(2009个0) - 111111……(2009个1)
S =2008888……8888889(2009个8) / 9
=22320987654320987(循环)………1
收起