a方+b方+c方=ab+bc+ac 求证a=b=c要过程

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 02:56:28
a方+b方+c方=ab+bc+ac求证a=b=c要过程a方+b方+c方=ab+bc+ac求证a=b=c要过程a方+b方+c方=ab+bc+ac求证a=b=c要过程已知a^2+b^2+c^2=ab+bc

a方+b方+c方=ab+bc+ac 求证a=b=c要过程
a方+b方+c方=ab+bc+ac 求证a=b=c
要过程

a方+b方+c方=ab+bc+ac 求证a=b=c要过程
已知a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac
两边同乘2
2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ac
移项可化为
(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0
因为平方非负
所以
a-b=0,b-c=0,c-a=0
推出a=b=c

(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2a^2+2b^2+2c^2-2(ab+bc+ac)=0
因为(a-b)^2>=0,(b-c)^2>=0,(c-a)^2>=0
所以(a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0
所以a=b=c

(a-b)^2=a^2+b^2-2ab
(b-c)^2=b^2+c^2-2bc
(c-a)^2=c^2+a^2-2ca
三式相加
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)=0
平方项恒不小于0,因此,三项皆为0.
a=b b=c c=a
a=b=c

两变同时乘以2,再移项到左边,得到(a-b)方+(a-c)方+(b-c)方=0
而方必须大于等于0,所以上式三个方内都为0,得证a=b=c