利用高斯公式的方法计算积分∫∫ x2y2dxdy,其中∑是球面x2+y2+z2=r2下部分下侧

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2025/01/25 05:12:17

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补平面Σ1：z=0,x²+y²≤r²,上侧,这样Σ+Σ1为一个封闭曲面
由高斯公式：
∫∫(Σ+Σ1) x²y² dxdy
=∫∫∫ 0 dxdydz
=0
下面计算所补平面的积分
∫∫(Σ1) x²y² dxdy
=∫∫(D) x²y² dxdy 其中积分区域D为x²+y²≤r²,下面用极坐标
=∫∫ ρ^5cos²θsin²θ dρdθ
=∫[0→2π] cos²θsin²θdθ ∫[0→r] ρ^5dρ
=(1/4)∫[0→2π] sin²2θ dθ×(1/6)ρ^6 |[0→r]
=(1/24)r^6∫[0→2π] sin²2θ dθ
=(1/48)r^6∫[0→2π] (1-cos4θ) dθ
=(1/48)r^6[θ - (1/4)sin4θ] |[0→2π]
=(1/24)πr^6
最后两个积分相减得：
原式=0-(1/24)πr^6=-(1/24)πr^6
若有不懂请追问,如果解决问题请点下面的“选为满意答案”.

利用高斯公式的方法计算积分求步骤. 利用高斯公式的方法计算积分∫∫ x2y2dxdy,其中∑是球面x2+y2+z2=r2下部分下侧利用高斯公式的方法计算积分∫∫(x+y)dydz+(y+z)dzdx+(z+x)dxdy,其中∑是柱面x2+y2=a2介于0≤z≤1之间的部分外侧利用高斯公式计算下列曲面积分利用高斯公式求曲面积分利用高斯公式求曲面积分利用高斯公式求曲面积分, 大一高数,利用牛顿-莱布尼茨公式计算积分利用高斯定理计算曲面积分利用高斯公式计算曲面积分I=∫∫(∑)xdydz+ydzdx+zdxdy ,其中∑为半球面z=√(R^2-x^2-y^2) 的上侧高斯公式计算曲面积分高数积分计算求曲面积分,格林公式,高斯公式之间的关联,有点小混乱~ 一道高数题利用高斯公式求曲面积分题利用高斯公式计算曲面积分（如图）,其中∑为球面x^2+y^2+z^2=a^2的外侧利用高斯公式计算曲面积分我知道是要补平面.但是那个积分区域是什么意思,下半球面的上侧,（圆是实心圆）是指z=0的那个平面的外侧；（圆是空心圆）还是指球面的内侧?顺便说下具体方法利用斯托克斯公式计算曲线积分的一道题利用牛顿莱布尼兹公式计算积分∫【0到2】[(e^x)-x]dx 利用牛顿莱布尼兹公式计算积分∫【∏/6到∏/2】2sintdt