证明:有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形.希望提供多种证明.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/15 22:32:25
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证明:有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形.希望提供多种证明.
证明:有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形.
希望提供多种证明.

证明:有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形.希望提供多种证明.
这就是著名的斯坦纳--莱默斯定理.1840年,莱默斯[C.L.Lehmus]在给斯图姆[C.Sturm]的一封信中提出的,他请求给出一个纯几何的证明,斯图姆向许多数学家提到此问题.首先回答的是瑞士大几何学家斯坦纳[J.Steiner].后来该定理就以斯坦纳--莱默斯定理定理而闻名于世.在1965年的一篇报道中提到该定理约有60多种证法.下面给出两种证法.
己知 在△ABC中,BE,CF是∠B,∠C的平分线,BE=CF.求证:AB=AC.
证法一 设AB≠AC,不妨设AB>AC,这样∠ACB>∠ABC,从而∠BCF=∠FCE=∠ACB/2>∠ABC/2=∠CBE=∠EBF.
在△BCF和△CBE中,因为BC=BC,BE=CF,∠BCF>∠CBE.
所以 BF>CE.(1)
作平行四边形BEGF,则∠EBF=∠FGC,EG=BF,FG=BE=CF,连CG,
故△FCG为等腰三角形,所以∠FCG=∠FGC.
因为∠FCE>∠FGE,所以∠ECGEG=BF.(2)
显然(1)与(2)是矛盾的,故假设AB≠AC不成立,于是必有AB=AC.
证法二 在△ABC中,假设∠B≥∠C,则可在CF上取一点F',使∠F'BE=∠ECF',这有CF≥CF'.
延长BF'交AC于A',则由∠BA'E=∠CA'F',有ΔA'BE∽ΔA'CF'.
从而A'B/A'C=BE/CF'≥BE/CF=1.
那么在△A'BC中,由A'B≥A'C,得:
∠A'CB≥∠A'BC,即∠C≥(∠B+∠C)/2,故∠B≤∠C.
再由假设∠B≥∠C,即有∠B=∠C.
所以△ABC为等腰三角形.

斯坦纳-雷米欧司定理:
设在三角形ABC中,有B、C的角平分线CF、BE交于O
BE是角平分线推出:BC/CE=AB/AE,同理:BC/BD=AC/AD,因为BD=CE,所以等量代换得出:
AB/AE=AC/AD,角A是公共角,所以三角形ACD与ABE相似,所以LACD=LABE,同理LBDC=LBEC,再加上BD=CE,所以三角形BOD全等于三角形OEC,所以OB=...

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斯坦纳-雷米欧司定理:
设在三角形ABC中,有B、C的角平分线CF、BE交于O
BE是角平分线推出:BC/CE=AB/AE,同理:BC/BD=AC/AD,因为BD=CE,所以等量代换得出:
AB/AE=AC/AD,角A是公共角,所以三角形ACD与ABE相似,所以LACD=LABE,同理LBDC=LBEC,再加上BD=CE,所以三角形BOD全等于三角形OEC,所以OB=OC且LDBE=LECD,OB=OC推出LOBC=LOCB,再等量代换得到LABC=LACB,所以AB=AC
注:"L"为角的符号
说是有十三种证法
可以在网上搜啊

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三角形ABC内底角B和C的角平分线交AC和AB于点E和点D,假设角B大于角C,作与角ACD相等的角EBF交CD于点F,交AC于点G,由于同一个三角形中大角对大边,又因为角GBE加二分之一角ABC大于角ACB,所以GC大于GB,由于两个对应角相等,三角形GBE与三角形GCF相似,则CF大于BE,因为CD等于BE,CF是BE中的一部分所以假设不正确。同理可证角ACB不大于角ABC,所以只有一种可能即角...

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三角形ABC内底角B和C的角平分线交AC和AB于点E和点D,假设角B大于角C,作与角ACD相等的角EBF交CD于点F,交AC于点G,由于同一个三角形中大角对大边,又因为角GBE加二分之一角ABC大于角ACB,所以GC大于GB,由于两个对应角相等,三角形GBE与三角形GCF相似,则CF大于BE,因为CD等于BE,CF是BE中的一部分所以假设不正确。同理可证角ACB不大于角ABC,所以只有一种可能即角ABC等于角ACB。(请自己准确作图我没空作图!!)
应该对的、

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