在平面直角坐标系中A(-2,0),B(2,0)点P为动点,且直线AP与直线BP的斜率之积为-3/4 1.求动点P的轨迹C方程2.过点D(1,0)的直线l交轨迹C与不同的两点MN,三角形M0N(O为坐标原点)的面积是否存在最大值?若存
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 15:23:55
在平面直角坐标系中A(-2,0),B(2,0)点P为动点,且直线AP与直线BP的斜率之积为-3/4 1.求动点P的轨迹C方程2.过点D(1,0)的直线l交轨迹C与不同的两点MN,三角形M0N(O为坐标原点)的面积是否存在最大值?若存
在平面直角坐标系中A(-2,0),B(2,0)点P为动点,且直线AP与直线BP的斜率之积为-3/4 1.求动点P的轨迹C方程
2.过点D(1,0)的直线l交轨迹C与不同的两点MN,三角形M0N(O为坐标原点)的面积是否存在最大值?若存在,求出三角形MON的的最大值及相应的直线方程,若不存在则说明理由?
第一题为(x^2)/4+(y^2)/3=1
求助第二题,算到最后的表达式时求不来了
在平面直角坐标系中A(-2,0),B(2,0)点P为动点,且直线AP与直线BP的斜率之积为-3/4 1.求动点P的轨迹C方程2.过点D(1,0)的直线l交轨迹C与不同的两点MN,三角形M0N(O为坐标原点)的面积是否存在最大值?若存
假设P(x,y),由题意：[y/(x+2)]·[y/(x-2)] = -3/4
∴4y^2 + 3(x^2 - 4)= 0,∴P的轨迹方程：(x^2)/4+(y^2)/3=1
设M(x1,y1),N(x2,y2)
S△MON =S△MOD+S△NOD = (1/2)·OD·ly2 - y1l
因此只需计算ly2 - y1l的最大值
(A) 当直线斜率存在时,设为k,D(1,0)在直线上,故直线可表示为y = k(x-1),代入椭圆方程：
4y^2 + 3[1+(y/k)]^2 = 12,整理：4y^2 + (3/k^2)·(k+y)^2 = 12
[4 + (3/k^2)]y^2 + (6/k)·y - 9 = 0,
根据韦达定理y1+y2=(-6k)/(3+4k^2),y1y2 = -9k^2/(3 + 4k^2)
∴ly2 - y1l^2 = (y2 + y1)^2 - 4y1y2 = {(36k^2)/[(3+4k^2)^2]} + [(36k^2)/(3+4k^2)]
令t=k^2>0 ,则ly2 - y1l^2 = [36t/(3+4t)^2] + [36t(3+4t)/(3+4t)^2] = 144t(1+t)/(3+4t)^2
记f(t) = ly2 - y1l^2 = 144t(1+t)/(3+4t)^2
则f'(t) = 144·[(1+2t)(3+4t)^2 - 8t(1+t)(3+4t)]/(3+4t)^4
= 144·[(1+2t)(3+4t) - 8t(1+t)]/(3+4t)^3
= 144·[2t+3]/(3+4t)^3>0,因此f(t)随t增加而增加
易得limf(t) = 9,但由于未知数的不确定性,该极限值(最大值)取不到
(B)当直线斜率不存在、即MN垂直x轴于D时,易得OMN是等腰三角形
将x = 1代入椭圆方程可得ly2 - y1l^2 = 9》(A)中的limf(t)
因此,当MN垂直x轴时,有：(S△MON)max = 3/2,此时直线为：x = 1
第一题还应扣掉横坐标x=+-2的点，即直线AP、BP斜率不存在的点。 设M(x1,y1),N(x2,y2),则三角形MON的面积是S=（1/2）（y1-y2)=
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