求证：长为4R的闭曲线,一定可以被半径为R的圆覆盖

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/25 19:10:41

求证：长为4R的闭曲线,一定可以被半径为R的圆覆盖求证：长为4R的闭曲线,一定可以被半径为R的圆覆盖求证：长为4R的闭曲线,一定可以被半径为R的圆覆盖D_D_fly说得太简略了,“若不能被半径为R的圆

求证：长为4R的闭曲线,一定可以被半径为R的圆覆盖
求证：长为4R的闭曲线,一定可以被半径为R的圆覆盖

求证：长为4R的闭曲线,一定可以被半径为R的圆覆盖
D_D_fly说得太简略了,“若不能被半径为R的圆覆盖,则闭曲线形成的图形满足某一方向上长度超过2R”这一句是很不明晰的,而且由此也不能简单地推出原命题,没那么显然.按照D_D_fly的思路,我想可以这样具体化：
设此闭曲线为Ω.
在平面上任选一个方向,沿这一方向作直线a,使a与Ω相切.（Ω与直线a相切可以这样定义：直线a将平面分成两部分,使其中的一部分没有Ω中的点,并且直线与Ω有公共点.）
同样,我们也可以做平行于a的直线b,使b与Ω相切.并且Ω在a与b的异侧.这也就保证了Ω在a与b中间.
由于Ω是一个周长有限的闭曲线,所以a和b都是存在的.（感觉上也是唯一的,不过不必证明它）
下面说明a与b的距离不大于2R.若不然,则存在点
P1 ∈ a ∩ Ω,
P2 ∈ b ∩ Ω,
使得|P1P2| > 2R.
但是P1,P2 ∈ Ω,从而经过P1,P2两点的闭曲线Ω周长必大于4R,矛盾!这就证明了a与b的距离不大于2R.
然后由a,b方向的任意性,我们就证明了在任一方向上Ω都在距离2R以内的两直线之间.
下面我不大会说明了……怎么继续构造出这个圆呢?不过不远了吧.

若不能被半径为R的圆覆盖，则闭曲线形成的图形满足某一方向上长度超过2R（圆的直径），而现在限定闭曲线周长为4R，它长度的极限是2R，所以必然会被覆盖。

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