求最小值 1/SINA+2/COSA
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 03:54:34
求最小值 1/SINA+2/COSA
求最小值 1/SINA+2/COSA
求最小值 1/SINA+2/COSA
应该有条件
如sinA>0,cosA>0
否则无最小值
例如当sinA趋近于-0,则原式趋近于-∞
如sinA>0,cosA>0
设x>0
根据柯西不等式有
(sinA+xcosA)(1/SINA+2/COSA )≥[1+√(2x)]²(当sin²A=xcos²A/2时取等号)
则当tanA=√(2x)/2 取等号
设cosB=1/√(x²+1),sinB=x/√(x²+1)
则sinA+xcosA=√(x²+1)sin(A+B)≤√(x²+1)
当A+B=π/2取等号
sinA=cosB=1/√(x²+1)
cosA=sinB=x/√(x²+1)
tanA=1/x
则1/x=√(2x)/2
x^(3/2)=√2
x=2^(1/3)
则(1/SINA+2/COSA )≥[1+√(2x)]²/(sinA+xcosA)≥[1+√(2x)]²/√(x²+1)
将x= 2^(1/3)
代入即可知1/SINA+2/COSA的最小值=[1+√(2*2^(1/3))]²/√(2^(1/3)+1)
=[1+2^(2/3)]²/[1+2^(1/3)]
楼上的答案简直是放屁～～ 这个最小值至少肯定是个负数
f(x)=1/sinx+2/cosx
对x求导有
f(x)的导数=(2sin(x)^3-cos(x)^3)/sin(x)^2*cos(x)^2
另其等于0
解得 2^(1/3)sinx=cosx 时取极值
此时加上sin(x)^2+cos(x)^2=1
解得f(x)=-(2的三分之二次方+1)^2
勉勉强强 不是最佳解
我朋友说 你...
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f(x)=1/sinx+2/cosx
对x求导有
f(x)的导数=(2sin(x)^3-cos(x)^3)/sin(x)^2*cos(x)^2
另其等于0
解得 2^(1/3)sinx=cosx 时取极值
此时加上sin(x)^2+cos(x)^2=1
解得f(x)=-(2的三分之二次方+1)^2
勉勉强强 不是最佳解
我朋友说 你的题目还落掉了一个限制范围 如果当x取离0很近的负角时 sinx 接近0，cosx接近1
那么1/Sinx+2/Cosx 就接近 无穷大了！！！！
收起
1/SINA+2/COSA
大于等于2根号下2/SINACOSA
等于2根号下4/SIN2A
等于4/根号下SIN2A
当1/SINA=2/COSA 有最小值 即可算出
sinA=x
cosA=y
xx+yy=1
A^3/(A^3+B^3)+B^3/(B^3+A^3)=1
C^3/(C^3+D^3)+D^3/(C^3+D^3)=1
E^3/(E^3+F^3)+F^3/(E^3+F^3)=1
相加，利用均值不等式
3=A^3/(A^3+B^3)+B^3/(B^3+A^3)
＋C^3/(C...
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sinA=x
cosA=y
xx+yy=1
A^3/(A^3+B^3)+B^3/(B^3+A^3)=1
C^3/(C^3+D^3)+D^3/(C^3+D^3)=1
E^3/(E^3+F^3)+F^3/(E^3+F^3)=1
相加，利用均值不等式
3=A^3/(A^3+B^3)+B^3/(B^3+A^3)
＋C^3/(C^3+D^3)+D^3/(C^3+D^3)
＋E^3/(E^3+F^3)+F^3/(E^3+F^3)
>=3(ACE)/[(A^3+B^3)(C^3+D^3)(E^3+F^3)]^(1/3)+3(BDF)/[(A^3+B^3)(C^3+D^3)(E^3+F^3)]^(1/3)
=3(ACE+BDF)/[(A^3+B^3)(C^3+D^3)(E^3+F^3)]^(1/3)
所以
(ACE+BDF)^3／[(A^3+B^3)(C^3+D^3)(E^3+F^3)]<=1
(A^3+B^3)(C^3+D^3)(E^3+F^3)>=(ACE+BDF)^3
所以
(1/x+2/y)(1/x+2/y)(xx+yy)>=[1+2^(2/3)]^3
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