设P为给定的凸n边形内部或边上的点,设函数f(p)=p到所有顶点的距离之和.求证：f(p)的最大值可以在p为某个顶点取到.我郁闷啊.完全没思路啊..要用向量来解.我目测是要用反证法来证明.

设P为给定的凸n边形内部或边上的点,设函数f(p)=p到所有顶点的距离之和.求证：f(p)的最大值可以在p为某个顶点取到.我郁闷啊.完全没思路啊..要用向量来解.我目测是要用反证法来证明.
设P为给定的凸n边形内部或边上的点,设函数f(p)=p到所有顶点的距离之和.
求证：f(p)的最大值可以在p为某个顶点取到.
我郁闷啊.完全没思路啊..
要用向量来解.我目测是要用反证法来证明.

设P为给定的凸n边形内部或边上的点,设函数f(p)=p到所有顶点的距离之和.求证：f(p)的最大值可以在p为某个顶点取到.我郁闷啊.完全没思路啊..要用向量来解.我目测是要用反证法来证明.

设A为定点,P1P2为一线段端点,Q为线段P1P2上的一点.设QP1/P2P1=L（标量）,则0<L<1,向量AQ=L*向量AP1+(1-L)*向量AP2,两边取模,由三角不等式,得如下不等式：|AQ|<=|L*AP1|+|(1-L)*AP2|=L*|AP1|+(1-L)*|AP2|.

这样推广一下,设有一组顶点A(1),...,A(n),同样地设线段P1P2和上面一点Q,设QP1/P2P1=L在0和1之间,则对任意i,有|A(i)Q|<=L*|A(i)P1|+(1-L)*|A(i)P2|.对i求和,得f(Q)<=L*f(P1)+(1-L)*f(P2).

这个式子的意义,就是说,对线段P1P2上的一点Q,f(Q)不可能同时大于f(P1)和f(P2).这个结论用反证法很好证明.有了这个式子,本命题就很好证明了.

上述的证明还没用到n边形的凸性,但是下面的证明就会用到了.

（1）若f(P)最大值的点P在内部,则A(1)P延长交至某边A(i)A(i+1)上的Q.因为n边形是凸的,因此上述操作可行,这点非常重要.因为P在线段A(1)Q上,所以f(P)不能同时大于f(A(1))和f(Q).同理地,f(Q)不能同时大于f(A(i))和f(A(i+1)).综合来说,f(P)不能同时大于f(A(1)),f(A(i))和f(A(i+1)),因此矛盾.

（2）若f(P)最大值在某边A(i)A(i+1)上,那自然有f(P)不能同时大于f(A(i))和f(A(i+1)),命题也自然得证.

所以,f(P)最大值一定可以在某顶点取到.

严格来说不适合用反证法, 因为除了证明在顶点以外不能取到最大值, 还要证明最大值存在.
向量可以用来证明如下引理:
设O为平面上任意一点, P在线段AB上, 满足向量等式PB = tAB, 0 ≤ t ≤ 1.
则|OP| ≤ t|OA|+(1-t)|OB|.
证明: 由BP = tBA, 有OP = OB+BP = tOA+(1-t)OB.
则|OP|&...

全部展开

严格来说不适合用反证法, 因为除了证明在顶点以外不能取到最大值, 还要证明最大值存在.
向量可以用来证明如下引理:
设O为平面上任意一点, P在线段AB上, 满足向量等式PB = tAB, 0 ≤ t ≤ 1.
则|OP| ≤ t|OA|+(1-t)|OB|.
证明: 由BP = tBA, 有OP = OB+BP = tOA+(1-t)OB.
则|OP|² = t²OA²+(1-t)²OB²+2t(1-t)OA·OB.
而OA·OB = |OA|·|OB|·cos(∠AOB) ≤ |OA|·|OB|.
故|OP|² ≤ t²|OA|²+(1-t)²|OB|²+2t(1-t)|OA|·|OB| = (t|OA|+(1-t)|OB|)².
即|OP| ≤ t|OA|+(1-t)|OB|.
若P为凸n边形内部的一点, 过P作直线交凸n边形于A, B两点, 可设PB = tAB, 0 ≤ t ≤ 1.
由引理, P到一顶点的距离 ≤ t·A到该顶点的距离+(1-t)·B到该顶点的距离.
对所有顶点求和得f(P) ≤ t·f(A)+(1-t)f(B), 于是有f(P) ≤ f(A)或f(P) ≤ f(B) (由0 ≤ t ≤ 1).
即f在内部一点的值一定 ≤ f在边上某点的值.
若P为边上一点, 设A, B为该边端点, 可设PB = tAB, 0 ≤ t ≤ 1.
同样可得f(P) ≤ t·f(A)+(1-t)f(B), 有f(P) ≤ f(A)或f(P) ≤ f(B).
即f在边上一点的取值一定 ≤ f在某顶点的值.
而顶点只有有限个, 最大值存在.
于是f(P)的最大值可以在某个顶点取到.
注意到0 < t < 1时, 引理中等号成立的必要条件是O, A, B共线.
可以知道若P不是顶点, 上面证明中的f(P) ≤ t·f(A)+(1-t)f(B)不能成立等号.
即有f(P) < t·f(A)+(1-t)f(B), 有f(P) < f(A)或f(P) < f(B). 所以最大值不能在顶点以外取到.

收起

我暂时只能证明p在n边形的边上
设Q为凸n边形内部一点
能找到一边过Q作垂线交凸n边形于该边上
Q关于这条边的对称点设为Q'
我们知道总有f(q')>f(q)
因此f(q)最大值在n边形的边上

PP1=PO+OP1
PP2=PO+OP2
……
PPn=PO+OPn
相加
PP1+PP2+...+PPn=nOP+(OP1+OP2……+OPn)
=nOP
其中，OP1+OP2……+OPn=O（零向量）