已知a/(x2-yz)=b/(y2-zx)=c/(x2-xy) 求证ax+by+cz=(x+y+z)(a+b+c)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 06:45:13
已知a/(x2-yz)=b/(y2-zx)=c/(x2-xy) 求证ax+by+cz=(x+y+z)(a+b+c)
已知a/(x2-yz)=b/(y2-zx)=c/(x2-xy) 求证ax+by+cz=(x+y+z)(a+b+c)
已知a/(x2-yz)=b/(y2-zx)=c/(x2-xy) 求证ax+by+cz=(x+y+z)(a+b+c)
设a/x^2-yz=b/y^2-zx=c/z^2-xy=k
则a=k（x^2-yz）
b=k（y^2-zx）
c=k（z^2-xy）
带入待证式子：
k（x^2-yz）x+k（y^2-zx）y+k（z^2-xy）z
=k（x^3+y^3+z^3-3xyz)
右=k（x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz）*（x+y+z）
即证+x^3+y^3+z^3-3xyz=（x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz）*（x+y+z）
事实上：
a^3+b^3+c^3-3abc
=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3)-(3abc+3a^2b+3ab^2)
=[(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-3ab-ac-bc)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
引入t,有：
x^2-yz=at
y^2-zx=bt
x^2-xy=ct
三式相加：t=(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)/(a+b+c)
ax+by+cz=(x^3+y^3+z^3-3xyz)/t=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)/t=(x+y+z)(a+b+c)
这里应用了等式：x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)