y的立方×y的二阶导数—1=0,求微分方程的通解y的立方乘以y的二阶导数

y的立方×y的二阶导数—1=0,求微分方程的通解y的立方乘以y的二阶导数
y的立方×y的二阶导数—1=0,求微分方程的通解
y的立方乘以y的二阶导数

y的立方×y的二阶导数—1=0,求微分方程的通解y的立方乘以y的二阶导数
不用理我,我只是来做做题而已,解得这么复杂你也不想看吧,大学生就喜欢复杂的.
解法一：
y³y'' = 1
设v = dy/dx,dv/dx = d²y/dx²
dv/dy•dy/dx = d²y/dx²
y³•dv/dy•v = 1
dv/dy•v = 1/y³
v dv = 1/y³ dy
v²/2 = -1/(2y²) + C
v² = -1/y² + C₁ = (C₁y² - 1)/y²
dy/dx = √(C₁y² - 1)/y 或 -√(C₁y² - 1)/y
y/√(C₁y² - 1)•dy = dx 或 y/√(C₁y² - 1)•dy = - dx
1/(2C₁)•1/√(C₁y² - 1)•d(C₁y² - 1) = dx 或 1/(2C₁)•1/√(C₁y² - 1)•d(C₁y² - 1) = - dx
√(C₁y² - 1)/C₁ = x + C 或 √(C₁y² - 1)/C₁ = - x + C
C₂y² = (C₁x + C₁C)² + 1 或 C₂y² = (C₁C - C₁x)² + 1
解法二：
y³y'' = 1
d²y/dx² = 1/y³
dy/dx•d²y/dx² = 1/y³•dy/dx
∫ (dy/dx)•(dy/dx)' dx = ∫ 1/y³ dy
∫ (dy/dx) d(dy/dx) = ∫ 1/y³ dy,将左边的dy/dx当是一个整体,或者当是x好了,∫xdx=x²/2
(dy/dx)²/2 = -1/(2y²) + C₁
(dy/dx)² = -1/y² + 2C₁,方程y² = x有y = √x和y = -√x两种情况
dy/dx = √(-1/y² + C₂) 或 dy/dx = -√(-1/y² + C₂),C₂ = 2C₁
dy/dx = √(C₂y² - 1)/y 或 dy/dx = -√(C₂y² - 1)/y
y/√(C₂y² - 1) dy = dx 或 y/√(C₂y² - 1) dy = - dx,之后两边积分
1/[2√(C₂y² - 1)] d(y²) = dx 或 1/[2√(C₂y² - 1)] d(y²) = - dx
1/[2C₂√(C₂y² - 1)] d(C₂y² - 1) = dx 或 1/[2C₂√(C₂y² - 1)] d(C₂y² - 1) = - dx
1/(2C₂)•2√(C₂y² - 1) = x + C 或 (1/2C₂)•√(C₂y² - 1) = - x + C
√(C₂y² - 1) = C₂x + C₂C 或 √(C₂y² - 1) = - C₂x + C₂C
C₂y² = (C₂x + C₂C)² + 1 或 C₂y² = (C₂C - C₂x)² + 1
如果解出y,答案会有四组.
楼上那位仁兄也解得不错,只是漏了一个可能性.

本人不才，只能到这种程度了，希望对你有帮助

y^3 *y''-1=0
y''=1/y^3
y'=dy/dx y''=dy'/dx=(dy'/dy)*(dy/dx)=y'dy'/dy
y'dy'/dy=1/y^3
y'^2=C-1/y^2
y'=√(C-1/y^2) 或 y'=-√(C-1/y^2)
ydy/√(Cy^2-1)=dx ...

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y^3 *y''-1=0
y''=1/y^3
y'=dy/dx y''=dy'/dx=(dy'/dy)*(dy/dx)=y'dy'/dy
y'dy'/dy=1/y^3
y'^2=C-1/y^2
y'=√(C-1/y^2) 或 y'=-√(C-1/y^2)
ydy/√(Cy^2-1)=dx ydy/√(Cy^2-1)=-dx
通解√(Cy^2-1)=Cx+C1 √(Cy^2-1)=-Cx+C1

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