设函数f(x)二阶可导,f(0)=1/2,且满足2∫f(t)dt=e^3x+3f(x)-f`(x),求f(x)求第六题解答方法

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/24 21:34:26
设函数f(x)二阶可导,f(0)=1/2,且满足2∫f(t)dt=e^3x+3f(x)-f`(x),求f(x)求第六题解答方法设函数f(x)二阶可导,f(0)=1/2,且满足2∫f(t)dt=e^3x

设函数f(x)二阶可导,f(0)=1/2,且满足2∫f(t)dt=e^3x+3f(x)-f`(x),求f(x)求第六题解答方法
设函数f(x)二阶可导,f(0)=1/2,且满足2∫f(t)dt=e^3x+3f(x)-f`(x),求f(x)

求第六题解答方法

设函数f(x)二阶可导,f(0)=1/2,且满足2∫f(t)dt=e^3x+3f(x)-f`(x),求f(x)求第六题解答方法
令x=0,得
0=1+3f(0)-f’(0)
f‘(0)=5/2
两边同时求导,得
2f(x)=3e的3x次方+3f’(x)-f‘’(x)
f‘’(x)-3f‘(x)+2f(x)=3e的3x次方
1.f‘’(x)-3f‘(x)+2f(x)=0的通解
特征方程为r²-3r+2=0
(r-1)(r-2)=0
r=1或r=2
Y=c1 e的x次方+c2e的2x次方
2.f‘’(x)-3f‘(x)+2f(x)=3e的3x次方的特解
设特解形式为y=a·e的3x次方
y’=3ae的3x次方
y‘’=9ae的3x次方
代入,得
9ae的3x次方-9ae的3x次方+2ae的3x次方=3e的3x次方
2ae的3x次方=3e的3x次方
a=3/2
所以特解为y=3/2·e的3x次方
所以
通解为f(x)=c1 e的x次方+c2e的2x次方+3/2·e的3x次方
f‘(x)=c1 e的x次方+2c2 e的2x次方+9/2·e的3x次方
由f(0)=1/2,f‘(0)=5/2
1/2=c1+c2 +3/2
5/2=c1+2c2+9/2
解得
c1=0,c2=-1
所以
特解f(x)=-2 e的2x次方+9/2·e的3x次方