已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)(x∈R,y∈R),且f(0)≠1.(1)求证:f(x)是奇函数(2)设F(x)=f(tan x).求证:方程F(x)=0至少有一个实根;若方程F(x)=0在(-π/2,π/2)上有n个实根,则n必为奇数.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 16:44:50
已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)(x∈R,y∈R),且f(0)≠1.(1)求证:f(x)是奇函数(2)设F(x)=f(tanx).求证:方程F(x)=0至少有一个实根

已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)(x∈R,y∈R),且f(0)≠1.(1)求证:f(x)是奇函数(2)设F(x)=f(tan x).求证:方程F(x)=0至少有一个实根;若方程F(x)=0在(-π/2,π/2)上有n个实根,则n必为奇数.
已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)(x∈R,y∈R),且f(0)≠1.
(1)求证:f(x)是奇函数
(2)设F(x)=f(tan x).求证:方程F(x)=0至少有一个实根;若方程F(x)=0在(-π/2,π/2)上有n个实根,则n必为奇数.

已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)(x∈R,y∈R),且f(0)≠1.(1)求证:f(x)是奇函数(2)设F(x)=f(tan x).求证:方程F(x)=0至少有一个实根;若方程F(x)=0在(-π/2,π/2)上有n个实根,则n必为奇数.
令x=y=0得2f(0)=2f^2(0),于是f(0)=0.(因为f(0)不为1).
再令x=0得
f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=0,因此f(-y)=-f(y),
f是奇函数.
显然有F(-x)=f(tan(-x))=f(-tanx)=-f(tanx)=-F(x),
F(x)在(-pi/2,pi/2)上是奇函数,且F(0)=f(0)=0.
由此知道F(x)=0的实根个数必是奇数.

1)x=0,y=0代入 => f(0)=0;
x=0 代入 => f(-y)=-f(y)
2) F(0)=f(tan0)=f(0)=0
F(-x)=f(tan(-x))=f(-tanx)=-f(tanx)=-F(x)
因此F(x)为奇函数,除x=0的根总是成对出现,而F(0)=0,因此n为奇数

1、
令x=y=0,则f(0) + f(0)=2f(0)²
∴f(0)=0或f(0)=1(舍)
∴f(0)=0
令x=0,则f(y) + f(-y)=2f(0)f(y) = 0
∴f(-y) = -f(y)
∴f(x)是奇函数

2、

当x = 0时,
有F(0)=f(tan 0) = f(0)...

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1、
令x=y=0,则f(0) + f(0)=2f(0)²
∴f(0)=0或f(0)=1(舍)
∴f(0)=0
令x=0,则f(y) + f(-y)=2f(0)f(y) = 0
∴f(-y) = -f(y)
∴f(x)是奇函数

2、

当x = 0时,
有F(0)=f(tan 0) = f(0) = 0,满足
∴.方程F(x)=0至少有一个实根0


当方程只有一个实根0时,1是奇数,∴满足要求
当方程在(-π/2,π/2)上不止一个实根时
假设x’∈(-π/2,π/2)且x’≠0,且x’也是方程F(x)=0在(-π/2,π/2)上的根
则有F(x’) = f(tanx’) = 0
∵x’∈ (-π/2,π/2)
∴ -x’∈(-π/2,π/2) (因为这个区间是关于原点对称的)
又∵F(-x’) = f[tan(-x’)] = f(-tanx’) = - f(tanx’) = 0
∴-x’也是F(x)=0在(-π/2,π/2)上的根
即:只要一个数是F(x)=0在(-π/2,π/2)上的根,那么他的相反数也是。
∴n必为奇数

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