CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线,CA=CB,E、F分别是直线CD上的两点,且∠BEC=∠CFA=∠α②如图2,若0°

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/28 00:19:37

CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线,CA=CB,E、F分别是直线CD上的两点,且∠BEC=∠CFA=∠α②如图2,若0°CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线,CA=CB,E、F分别是直线CD上的两点

CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线,CA=CB,E、F分别是直线CD上的两点,且∠BEC=∠CFA=∠α②如图2,若0°
CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线,CA=CB,E、F分别是直线CD上的两点,且∠BEC=∠CFA=∠α
②如图2,若0°

CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线,CA=CB,E、F分别是直线CD上的两点,且∠BEC=∠CFA=∠α②如图2,若0°
（1）若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题：
①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,
则BE=CF；EF=|BE-AF|（填“＞”,“＜”或“=”）；
②如图2,若0°＜∠BCA＜180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件∠α+∠BCA=180°,使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立．
（2）如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
答：（1）①∵∠BCA=90°,∠α=90°,
∴∠BCE+∠CBE=90°,∠BCE+∠ACF=90°,
∴∠CBE=∠ACF,
∵CA=CB,∠BEC=∠CFA；
∴△BCE≌△CAF,
∴BE=CF；EF=|BE-AF|．
②所填的条件是：∠α+∠BCA=180°．
证明：在△BCE中,∠CBE+∠BCE=180°-∠BEC=180°-∠α．
∵∠BCA=180°-∠α,
∴∠CBE+∠BCE=∠BCA．
又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA,
∴∠CBE=∠ACF,
又∵BC=CA,∠BEC=∠CFA,
∴△BCE≌△CAF（AAS）
∴BE=CF,CE=AF,
又∵EF=CF-CE,
∴EF=|BE-AF|．
（2）EF=BE+AF．

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1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，
则BE=CF；EF=|BE-AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件∠α+∠BCA=180°，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
答：（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，
∴∠CBE=∠ACF，
∵CA=CB，∠BEC=∠CFA；
∴△BCE≌△CAF，
∴BE=CF；EF=|BE-AF|．
②所填的条件是：∠α+∠BCA=180°．
证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180°-∠BEC=180°-∠α．
∵∠BCA=180°-∠α，
∴∠CBE+∠BCE=∠BCA．
又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA，
∴∠CBE=∠ACF，
又∵BC=CA，∠BEC=∠CFA，
∴△BCE≌△CAF（AAS）
∴BE=CF，CE=AF，
又∵EF=CF-CE，
∴EF=|BE-AF|．
（2）EF=BE+AF．

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分析：（1）①由∠BCA=90°，∠α=90°可得∠CBE+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，可推得∠CBE=∠ACD，且已知CA=CB，∠BEC=∠CFA，所以△BEC≌△CDA，可得BE=CF，EC=AF；又因为EF=CF-CE，所以EF=|BE-AF|；
②只有满足△BEC≌△CDA，才有①中的结论，即∠BCE=∠CAF，∠CBE=∠FCA；由三角形内角和等于180°，可知∠α+∠BCE+∠CBE=180°，即∠α+∠BCE+∠FCA=180°，即可得到∠α+∠BCA=180°．
（2）只要通过条件证明△BEC≌△CFA（可通过ASA证得），可得BE=CF，EC=AF，即可得到EF=EC+CF=BE+AF．

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∠α+∠BCA=180°．
证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180°-∠BEC=180°-∠α．
∵∠BCA=180°-∠α，
∴∠CBE+∠BCE=∠BCA．
又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA，
∴∠CBE=∠ACF，
又∵BC=CA，∠BEC=∠CFA，
∴△BCE≌△CAF（AAS）
∴BE=CF，CE=AF，
...

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