刘卫同学在一次课外活动中,用硬纸片做了两个直角三角形,见图①、②．图①中,∠B=90°,∠A=30°,BC=6cm；图②中,∠D=90°,∠E=45°,DE=4 cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 02:31:12
刘卫同学在一次课外活动中,用硬纸片做了两个直角三角形,见图①、②．图①中,∠B=90°,∠A=30°,BC=6cm；图②中,∠D=90°,∠E=45°,DE=4 cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与
刘卫同学在一次课外活动中,用硬纸片做了两个直角三角形,见图①、②．图①中,∠B=90°,∠A=30°,BC=6cm；图②中,∠D=90°,∠E=45°,DE=4 cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起,并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中,D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．
(1)在△DEF沿AC方向移动的过程中,刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐 ．
(填“不变”、“变大”或“变小”)
(2)刘卫同学经过进一步地研究,编制了如下问题：
问题①：当△DEF移动至什么位置,即AD的长为多少时,F、C的连线与AB平行?
问题②：当△DEF移动至什么位置,即AD的长为多少时,以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?
问题③：在△DEF的移动过程中,是否存在某个位置,使得∠FCD=15°?如果存在,
求出AD的长度；如果不存在,请说明理由．
刘卫同学在一次课外活动中,用硬纸片做了两个直角三角形,见图①、②．图①中,∠B=90°,∠A=30°,BC=6cm；图②中,∠D=90°,∠E=45°,DE=4 cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与
（1）变小；
（2）问题①：∵∠B=90°,∠A=30°,BC=6
∴AC=12
∵∠FDE=90°,∠DEF=45°,DE=4
∴DF=4
连接FC,设FC‖AB
∴∠FCD=∠A=30°
∴在Rt△FDC中,DC=4
∴AD=AC-DC=12-4
∴AD=（12-4 ）cm时,FC‖AB；
问题②：设AD=x,在Rt△FDC中,FC2=DC2+FD2=（12-x）2+16
（I）当FC为斜边时,
由AD2+BC2=FC2得,x2+62=（12-x）2=16,x= ；
（II）当AD为斜边时,
由FC2+BC2=AD2得,（12-x）2+16+62=x2,x= ＞8（不合题意舍去）；
（III）当BC为斜边时,
由AD2+FC2=BC2得,x2+（12-x）2+16=62,x2-12x+62=0,
∴方程无解,
∴由（I）、（II）、（III）得,当x= cm时,以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形；
另BC不能为斜边,
∵FC＞CD,∴FC+AD＞12
∴FC、AD中至少有一条线段的长度大于6,
∴BC不能为斜边,
∴由（I）、（II）、（III）得,当x= cm时,以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形；
问题③：解法一：不存在这样的位置,使得∠FCD=15°
理由如下：
假设∠FCD=15°
∵∠EFC=30°
作∠EFC的平分线,交AC于点P
则∠EFP=∠CFP=∠DFE+∠EFP=60°
∴PD=4 ,PC=PF=2FD=8
∴PC+PD=8+4 ＞12
∴不存在这样的位置,使得∠FCD=15°
解法二：不存在这样的位置,使得∠FCD=15°
假设∠FCE=15°AD=x
由∠FED=45°
得∠EFC=30°
作EH⊥FC,垂足为H．
∴HE= EF=2
CE=AC-AD-DE=8-x
且FC2=（12-x）2+16
∵∠FDC=∠EHC=90°
∠DCF为公共角
∴△CHE∽△CDF
∴ = 又（ ）2=（ ）2=
∴（ ）2= ,即 = 整理后,得到方程x2-8x-32=0
∴x1=4-4 ＜0（不符合题意,舍去）
x2=4+4 ＞8（不符合题意,舍去）
∴不存在这样的位置,使得∠FCD=15°．