积分证明 已知,在区间[0,1]上f(x)连续且f(x)>0,证明∫f(x)dx∫1/f(x)dx≥1 积分区域均为0到1
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 14:18:05
积分证明 已知,在区间[0,1]上f(x)连续且f(x)>0,证明∫f(x)dx∫1/f(x)dx≥1 积分区域均为0到1
积分证明 已知,在区间[0,1]上f(x)连续且f(x)>0,证明∫f(x)dx∫1/f(x)dx≥1 积分区域均为0到1
积分证明 已知,在区间[0,1]上f(x)连续且f(x)>0,证明∫f(x)dx∫1/f(x)dx≥1 积分区域均为0到1
本题其实是柯西-许瓦兹不等式的特例
有两个证法:1、用二重积分来证,2、用定积分,方法2较简单,但技巧高些.
证法1:
左边=∫[0--->1]f(x)dx∫[0--->1] 1/f(x)dx
定积分可随便换字母
=∫[0--->1]f(x)dx∫[0--->1] 1/f(y)dy
=∫∫f(x)/f(y)dxdy 积分区域为:0≤x≤1,0≤y≤1,由轮换对称性的因此有∫∫f(x)/f(y)dxdy=∫∫f(y)/f(x)dxdy
=1/2[∫∫f(x)/f(y)dxdy+∫∫f(y)/f(x)dxdy]
=1/2∫∫ [f(x)/f(y)+f(y)/f(x)] dxdy
平均值不等式
≥1/2∫∫ 2 dxdy
=∫∫ 1 dxdy 被积函数为1,积分结果为区域面积
=1=右边 证毕
证法2:构造g(t)=t²∫f(x)dx+2t+∫1/f(x)dx 由于积分结果是常数,g(t)关于t是二次函数
g(t)=t²∫f(x)dx+2t∫1dx+∫1/f(x)dx
=∫ [t²f(x)+2t+1/f(x)] dx
被积函数是个完全平方
=∫ [t√f(x)+1/√f(x)]² dx
≥0
由于g(t)恒大于等于0,因此判别式必小于0,即:
2²-4∫f(x)dx∫1/f(x)dx≤0
整理后即为:∫f(x)dx∫1/f(x)dx≥1