将2008个白球与2009个黑球排成一列,如何证明：至少有一个黑球,其左侧的白球与黑球数相等?（不包括自己）可以为0
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 15:00:05
将2008个白球与2009个黑球排成一列,如何证明：至少有一个黑球,其左侧的白球与黑球数相等?（不包括自己）可以为0
将2008个白球与2009个黑球排成一列,如何证明：至少有一个黑球,其左侧的白球与黑球数相等?（不包括自己）
可以为0
将2008个白球与2009个黑球排成一列,如何证明：至少有一个黑球,其左侧的白球与黑球数相等?（不包括自己）可以为0
①若第一个是黑球,则命题显然成立.
②若第一个是白球.将球从左到右编号为1,2,3...4017.
假设命题不真,则第一个球不是黑球,而第一个出现的黑球k左侧,白球个数多于黑球（这是显然的）.
下面先证引理：不存在黑球,它的左边白球的个数少于黑球.否则,假设编号最小的黑球i左边白球的个数少于黑球,并设它左边第一个黑球（它是肯定存在的,因其左侧有一球k,它左侧白球个数多余黑球）的编号为j,（显然i>j).因为球i的左侧白球的个数少于黑球,而若i,j之间无白球则j的左侧白球的个数与黑球个数相等与假设矛盾.所以i,j之间必存在至少一个白球,这样j的左侧白球的个数会比i左侧减少至少1个,而黑球仅减少1个,于是,j的左侧白球的个数少于黑球,而j
看来数学归纳法被别人抢了，我就来个简单点的（就是有点抽象），呵呵。
用染色问题的常用方法——赋值法
将2008个白球都标记上-1，再将2009个黑球都标记上1
现在要证“至少有一个黑球，其左侧的白球与黑球数相等”
显然要证“左侧的白球与黑球数相等”，那么这个黑球的右侧白球与黑球数也相等
即这个黑球的左右两边代数和都要为0
又因为所有4017个球的代数...
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看来数学归纳法被别人抢了，我就来个简单点的（就是有点抽象），呵呵。
用染色问题的常用方法——赋值法
将2008个白球都标记上-1，再将2009个黑球都标记上1
现在要证“至少有一个黑球，其左侧的白球与黑球数相等”
显然要证“左侧的白球与黑球数相等”，那么这个黑球的右侧白球与黑球数也相等
即这个黑球的左右两边代数和都要为0
又因为所有4017个球的代数和为1
那么必然存在一个“1“的左右两边都是0
命题得证。
以上命题已证，现在我们来找到这个黑球。
从左边开始，
(1)若第一个球是黑球，那么，已经得证。
(2)若第一个球是白球，那么，再从左边起找到第一个出现的黑球(这个黑球显然不是我们要找的黑球)。因为这两个球的代数和为0，所以将这两个球删去，这样不影响所找黑球两边的代数和。
(3)这样2008个白球与2009个黑球，只剩2007个白球，2008个黑球。接着重复步骤(1),,(2)因为黑球多一个，所以必然存在这样一个黑球会出现在左一位置上，这个黑球就是所找黑球。
这道题还可以用第一数学归纳法和第二数学归纳法等等很多方法。
新年快乐！！！
收起
设第个i黑球左侧有x(i)个白球
用反证法
则x(1)>0,
x(2)>=x(1) x(2)!=1 则x(2)>1
x(3)>=x(2) x(3)!=2 则x(3)>2
.
.
则可推出x(2009)>2008 矛盾
白球与黑球的具体个数不是重点，只要黑球比白球多，命题就成立。