1.求所有满足3|2^n+1的正整数n.2.求2^1000除以13的余数.3.求证7|(2222^5555+5555^2222)4.设n为自然数,若(19n+14)与(10n+3)模83同余,则n的最小可能值是（）A.4 B.8 C.16 D.325.试证明：对于一切自然数n,都有6|(n^3+11

1.求所有满足3|2^n+1的正整数n.2.求2^1000除以13的余数.3.求证7|(2222^5555+5555^2222)4.设n为自然数,若(19n+14)与(10n+3)模83同余,则n的最小可能值是（）A.4 B.8 C.16 D.325.试证明：对于一切自然数n,都有6|(n^3+11
1.求所有满足3|2^n+1的正整数n.
2.求2^1000除以13的余数.
3.求证7|(2222^5555+5555^2222)
4.设n为自然数,若(19n+14)与(10n+3)模83同余,则n的最小可能值是（）
A.4 B.8 C.16 D.32
5.试证明：对于一切自然数n,都有6|(n^3+11n)
6.试证明：三个连续自然数的立方之和是9的倍数.
7.试证明四个连续自然数的平方和不是平方数.
8.求一个四位数,它的前两位数的数字相同,后两位的数字也相同,且这个数是个平方数.

1.求所有满足3|2^n+1的正整数n.2.求2^1000除以13的余数.3.求证7|(2222^5555+5555^2222)4.设n为自然数,若(19n+14)与(10n+3)模83同余,则n的最小可能值是（）A.4 B.8 C.16 D.325.试证明：对于一切自然数n,都有6|(n^3+11
1.
3|2^n+1
所以2^n=-1 (mod 3)
2^0=1 (mod 3)
2^1=-1 (mod 3)
2^2=1 (mod 3)
.
因为1*2=-1 (mod 3),-1*2=1 (mod 3)
所以当n取奇数时,3|2^n+1
2.
2^1000
=(2^6)^166*2^4
=(-1)^166*2^4
=16
=3 (mod 13)
3.
由费马定理：
a^6=1 (mod 7)
所以：
2222^5555+5555^2222
=(1111*2)^5+(1111*5)^2
=3^5+4^2
=243+16
=0 (mod 7)
所以7|(2222^5555+5555^2222)
4.
因为(19n+14)与(10n+3)模83同余
所以,83|(19n+14)-(10n+3)=9n+11
所以,9n=72 (mod 83)
所以,n=8+k*83
故选B
5.
n^3+11n=n(n-1)(n+1)+12*n
因为n,n-1,n+1中,至少有一个3的倍数,至少有一个2的倍数,所以：6|n(n-1)(n+1)
所以6|(n^3+11n)
6.
不妨设这三个数是：n-1,n,n+1
那么(n-1)^3+n^3+(n+1)^3=n^3*3+6*n=3(n^3-n)+9*n=3(n-1)n(n+1)+9*n
因为n,n-1,n+1中,至少有一个3的倍数,所以：3|n(n-1)(n+1)
所以9|3(n-1)n(n+1)+9*n=(n-1)^3+n^3+(n+1)^3
7.
不妨设这四个数是：n-1,n,n+1,n+2
那么(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=4*n^2+4*n+6=2(2n^2+2n+3)
若原数是完全平方数,那么2|(2n^2+2n+3),而2*(n^2+n)+3必然是个奇数,所以矛盾.
所以(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2不可能是完全平方数
8.____
设这个数为aabb=x^2
1、当a=1时,33

1)对n进行讨论：n=2k时，2^n+1=4^k+1≡1^k+1≡2(mod3)
n=2k+1时，2^n+1=2*4^k+1≡2*1^k+1≡0(mod3)
所以n为任意的奇数
2)2^1000=2^(996+4)=16*2^(6*166)=16*64^166=16*(65-1)^166≡16*(-1)^166≡3(mod13)
3)2222^5555=(7...

全部展开

1)对n进行讨论：n=2k时，2^n+1=4^k+1≡1^k+1≡2(mod3)
n=2k+1时，2^n+1=2*4^k+1≡2*1^k+1≡0(mod3)
所以n为任意的奇数
2)2^1000=2^(996+4)=16*2^(6*166)=16*64^166=16*(65-1)^166≡16*(-1)^166≡3(mod13)
3)2222^5555=(7*317+3)^5555≡3^5555≡9*27^1851≡9*(-1)^1851≡-9≡5(mod5)
5555^2222≡4^2222≡2^4444≡2*8^1481≡2 (mod7)
所以(2222^5555+5555^2222)≡5+2≡0(mod7)
即7|(2222^5555+5555^2222)
4)若(19n+14)与(10n+3)模83同余
那么(19n+14)-(10n+3)≡9n+11≡0(mod83)
把4，8，16，32逐一带入知道：n=8
5)(n^3+11n)=n^3-n+12n=n(n+1)(n-1)+12n
6|(n-1)n(n+1)(连续3个整数相乘)，6|12n
于是6|(n^3+11n)
6)设3个数为(n-1),n,(n+1)
立方和是：
(n-1)^3+n^3+(n+1)^3=3n^3+6n=3(n-1)n(n+1)+9n
显然是9的倍数
7)首先有一个数的平方要么被4整除，要么被4除余1{(2k+1)^2=4k(k+1)+1}
于是连续4个数的和必然是偶数，而他们是2个奇数和2个偶数，和肯定被4除余2
而假设他们的和是平方数，那么被4整除，矛盾
8)设这个数是xxyy
那么这个数显然被11整除：
xxyy=11(x0y)但是这个数是平方数，那么
(x0y)=11*T
其中T是平方数
于是T只能是从16，25，36，49，64，81中寻找
可知T=64
于是xxyy=7744

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