求问三角形的三条高为何交于一点?

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 15:13:39
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求问三角形的三条高为何交于一点?
求问三角形的三条高为何交于一点?

求问三角形的三条高为何交于一点?
证明:三角形三条高线交于一点,这点称为三角形的垂心.
已知:△ABC中,三边上的高线分别是AX,BY,CZ,X,Y,Z为垂足,求证:AX,BY,CZ交于一点.(图略)
分析 要证AX,BY,CZ相交于一点,可以考虑利用三角形三边垂直平分线交于一点的现有命题来证,只须构造出一个新三角形A′B′C′,使AX,BY,CZ恰好是△A′B′C′的三边上的垂直平分线,则AX,BY,CZ必然相交于一点.
证分别过A,B,C作对边的平行线,则得到△A′B′C′(图略).由于四边形A′BAC、四边形AC′BC、四边形ABCB′均为平行四边形,所以AC′ =BC=AB′.由于AX⊥BC于X,且BC‖B′C′,所以AX⊥B′C′于A,那么AX即为B′C′之垂直平分线.同理,BY,CZ分别为A′C′,A′B′的垂直平分线,所以AX,BY,CZ相交于一点H