已知a>0,求证根号(a^2+1/a^2)-根号2>=（a+1/a）-2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/12 09:07:15
已知a>0,求证根号(a^2+1/a^2)-根号2>=（a+1/a）-2
已知a>0,求证根号(a^2+1/a^2)-根号2>=（a+1/a）-2
已知a>0,求证根号(a^2+1/a^2)-根号2>=（a+1/a）-2
令x=a+1/a
则x²=a²+1/a²+2
所以即证明√(x²-2)-√2>=x-2
即证明√(x²-2)+2>=x+√2
即证明[√(x²-2)+2]²>=(x+√2)²
即证明(x²-2)+4√(x²-2)+4>=x²+2√2x+2
即证明4√(x²-2)>=2√2x
即证明2√(x²-2)>=√2x
即证明[2√(x²-2)]²>=(√2x)²
即证明4x²-8>=2x²
即证明x²>=4
因为a>0
所以x=a+1/a>=2√(a*1/a)=2
所以x²>=4成立
倒推回去
有√(a²+1/a²)-√2>=(a+1/a)-2
证法一：
把原式移项后知，要证明原式，只需证明
√(a²+ 1/ a²)≥a+ 1/a-2+√2
然后两边平方，再整理后有
0≥（2√2 –4）（a+ 1/a）+8-4√2
再移项有，
（4-2√2 ）（a+ 1/a）≥8-4√2
不等号两边同除以4-2√2，知要证原式成立，只需证明
a+ 1/a≥2
...
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证法一：
把原式移项后知，要证明原式，只需证明
√(a²+ 1/ a²)≥a+ 1/a-2+√2
然后两边平方，再整理后有
0≥（2√2 –4）（a+ 1/a）+8-4√2
再移项有，
（4-2√2 ）（a+ 1/a）≥8-4√2
不等号两边同除以4-2√2，知要证原式成立，只需证明
a+ 1/a≥2
而这结论可由a² +b²≥2ab(或者a+b≥2√(ab))直接得到。证完。
证法二：
总感觉这个证明中的计算太多。我们来探索一个计算少一点的证明。
首先可知，下述不等式与原不等式是等价的。
a+ 1/a -√(a²+ 1/ a²)≤2-√2
我们注意到a+ 1/a的平方与√(a²+ 1/ a²)的平方的差等于2，而2的平方与√2的平方的差也等于2。
由这个线索，我们可以得到一个新证明：
易知a+ 1/a≥2，
a²+ 1/ a²≥2，进而√(a²+ 1/ a²)≥√2
所以有
（a+ 1/a） +√(a²+ 1/ a²)≥2+√2
所以有
1/[（a+ 1/a） +√(a²+ 1/ a²)]≤1/（2+√2） ①
由于[（a+ 1/a） +√(a²+ 1/ a²)][（a+ 1/a） -√(a²+ 1/ a²)]
=2=（2+√2）（2-√2）
于是在①式的两端同乘以2，便得
（a+ 1/a） -√(a²+ 1/ a²)≤2-√2
再移一下项，便是要证的原不等式
√(a²+ 1/ a²) - √2≥（a+ 1/a）-2 证完。
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