已知实数a大于等于3,求证:根号a-根号（a-1） < 根号（a-2）-根号（a-3）分析法
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 22:52:56
已知实数a大于等于3,求证:根号a-根号（a-1） < 根号（a-2）-根号（a-3）分析法
已知实数a大于等于3,求证:根号a-根号（a-1） < 根号（a-2）-根号（a-3）分析法
已知实数a大于等于3,求证:根号a-根号（a-1） < 根号（a-2）-根号（a-3）分析法
解
原不等式变型得
根号a+根号（a-3）< 根号（a-2）+根号（a-1）
两边平方得
a+a-3+2根号a（a-3）< （a-2）+（a-1）+2根号（a-2）（a-1）
a（a-3）< （a-2）（a-1）
a²-3a< a²-3a+2
0< 2恒成立
所以
根号a-根号（a-1） < 根号（a-2）-根号（a-3）
[√a+√(a-3)]^2=a+a-3+√[a(a-3)]
[√(a-1)+√(a-2)]^2=a+a-3+√[(a-1)(a-2)]>a+a-3+√[a(a-3)]
所以
√a+√(a-3)<√(a-1)+√(a-2)
即
√a-√(a-1)<√(a-2)-√(a-3)
移项， 只要证明 根号a + 根号（a-3）<根号（a-1） + 根号（a-2）
平方 只要证明 a+a-3 + 2*根号(a（a-3))< a+a-3 + 2*根号((a-1)（a-2))
整理 只要证明 a（a-3)< (a-1)（a-2)
即证 a²-3a
∵a≥3
∴a(a-3)≥0，(a-1)(a-2)>0
∵ a^2-3a
∴√[a(a-3)]<√[(a-1)(a-2)]
∴ 2a-3+2√[a(a-3)]< 2a-3+2√[(a-1)(a-2)]
即 a+2√[a(a-3)]+a-3<(a-1)+2√[(a-1)(a-2)]+(a-2)<...
全部展开
∵a≥3
∴a(a-3)≥0，(a-1)(a-2)>0
∵ a^2-3a
∴√[a(a-3)]<√[(a-1)(a-2)]
∴ 2a-3+2√[a(a-3)]< 2a-3+2√[(a-1)(a-2)]
即 a+2√[a(a-3)]+a-3<(a-1)+2√[(a-1)(a-2)]+(a-2)
∴[ √a+√(a-3)]^2<[√(a-1)+√(a-2)]^2
∴ √a+√(a-3)<√(a-1)+√(a-2)
∴ √a-√(a-1)<√(a-2)-√(a-3)
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